Dễ thấy, diện tích phần giao nhau của 2 cung tròn tạo bởi 2 hình viên phân giới hạn bởi $\overparen{BE}$ của $(A;a)$ và $\overparen{BE}$ của $\left(I;\dfrac{a}{2}\right)$
Ta có:
$AB = AE = a$
$IB = IE = \dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow AI$ là trung trực của $BE$
$\Rightarrow \widehat{BAI} = \dfrac{1}{2}\widehat{BAE}; \, \widehat{BIA} = \dfrac{1}{2}\widehat{BIE}$
Ta có: $\tan\widehat{BAI} = \dfrac{BI}{AB} = \dfrac{\dfrac{1}{2}a}{a} = \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \widehat{BAI} = \arctan\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \widehat{BAE} = 2\arctan\dfrac{1}{2}$
Tương tự, ta được:
$\widehat{BIA} = \arctan2$
$\Rightarrow \widehat{BIE} = 2\arctan2$
Do đó:
$S = \dfrac{2\arctan\dfrac{1}{2}}{360^o}.\pi.a^2 + \dfrac{2\arctan2}{360^o}.\pi.\dfrac{a^2}{4}$
$ = \dfrac{a^2\pi}{180^o}.\left(\arctan\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\arctan2\right)$
