Xét $\Delta ADI$ và $\Delta CED$, ta có:
$\widehat{IAD}=\widehat{DCE}=90{}^\circ$
$\widehat{AID}=\widehat{CDE}$ ( cùng phụ $\widehat{ADI}$ )
$\to \Delta ADI\sim \Delta CED$
$\to \dfrac{AD}{CE}=\dfrac{AI}{CD}$
$\to AD.CD=AI.CE$
$\to AD.AD=AI.CE$ ( vì $ABCD$ là hình vuông nên cạnh $CD=AD$ )
$\to A{{D}^{2}}=AI.CE$
$\to \dfrac{A{{D}^{2}}}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{AI.CE}{A{{I}^{2}}}$
$\to \dfrac{A{{D}^{2}}}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{CE}{AI}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Xét $\Delta BEI$ và $\Delta ADI$, ta có:
$\widehat{EBI}=\widehat{DAI}=90{}^\circ$
$\widehat{BIE}=\widehat{AID}$ ( hai góc đối đỉnh )
$\to \Delta BEI\sim \Delta ADI$
$\to \dfrac{BE}{AD}=\dfrac{BI}{AI}$
$\to \dfrac{BE}{BI}=\dfrac{AD}{AI}$
$\to \dfrac{B{{E}^{2}}}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{A{{D}^{2}}}{A{{I}^{2}}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có được:
$\,\,\,\,\,\,\dfrac{B{{E}^{2}}}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{CE}{AI}$
Hay $\dfrac{B{{I}^{2}}}{B{{E}^{2}}}=\dfrac{AI}{CE}$
