Lời giải:
Ta có:
$\widehat{IAB} = \widehat{IBA} = 15^\circ$
$\Rightarrow \begin{cases}\triangle IAB\ \text{cân tại $I$}\\IA = IB\\\widehat{IAD} = \widehat{IBC}= 75^\circ\end{cases}$
Xét $\triangle IAD$ và $\triangle IBC$ có:
$\begin{cases}IA = IB\quad (cmt)\\AD = BC\quad (gt)\\\widehat{IAD} = \widehat{IBC}= 75^\circ\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle IAD=\triangle IBC\ (c.g.c)$
$\Rightarrow ID = IC\qquad (1)$
Trong hình vuông $ABCD$ lấy điểm $M$ sao cho $\widehat{MBC} = \widehat{MCB} = 15^\circ$
$\Rightarrow \triangle MBC$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{BMC} = 180^\circ - 2,15^\circ = 150^\circ$
Xét $\triangle IAB$ và $\triangle MBC$ có:
$\begin{cases}\widehat{IAB} = \widehat{MBC}=\widehat{IBA} = \widehat{MCB} = 15^\circ\\AB = BC\quad (gt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle IAB = \triangle MBC\ (g.c.g)$
$\Rightarrow IA = IB = MB = MC$
$\Rightarrow \triangle MBI$ cân tại $B$
Lại có:
$\widehat{MBI} = 90^\circ - \widehat{IBA} - \widehat{MBC} = 90^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 60^\circ$
Do đó: $\triangle MBI$ đều
$\Rightarrow \widehat{BMI} = 60^\circ;\ MB = MI = IB$
$\Rightarrow \widehat{IMC} = 360^\circ - \widehat{BMI} - \widehat{BMC} = 360^\circ - 60^\circ - 150^\circ = 150^\circ$
$\Rightarrow \widehat{IMC} = \widehat{BMC}$
Xét $\triangle IMC$ và $\triangle BMC$ có:
$\begin{cases}IM = BM\quad (cmt)\\MC:\ \text{cạnh chung}\\\widehat{IMC} = \widehat{BMC}\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle IMC = \triangle BMC\ (c.g.c)$
$\Rightarrow IC = BC$
$\Rightarrow IC = CD\quad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow IC = ID = CD$
$\Rightarrow \triangle CID$ đều
