a)
Ta có: $AD=AB$ ( $ABCD$ là hình vuông )
$\to \dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}AB$
$\to AF=BH$
Xét $\Delta ABF$ vuông tại $A$ và $\Delta BCH$ vuông tại $B$, ta có:
$AB=BC$ ( $ABCD$ là hình vuông )
$AF=BH\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \Delta ABF=\Delta BCH\,\,\,\left( cgv-cgv \right)$
$\to BF=CH$ ( hai cạnh tương ứng )
b)
Vì $\Delta ABF=\Delta BCH\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \widehat{ABF}=\widehat{BCH}$ ( hai góc tương ứng )
Mà: $\widehat{ABF}+\widehat{FBC}=90{}^\circ $
Nên: $\widehat{BCH}+\widehat{FBC}=90{}^\circ $
Hay: $\Delta IBC$ vuông tại $I$
$\to IC\bot IB$
$\to CH\bot BF$
c)
Ta có: $AD=BC$ ( $ABCD$ là hình vuông )
$\to \dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BC$
$\to FD=BK$
Mà $FD\,\,||\,\,BK$ ( $ABCD$ là hình vuông )
$\to FDKB$ là hình bình hành
$\to DK\,\,||\,\,BF$
Mà $CH\bot BF\,\,\,\left( cmt \right)$
Vậy $DK\bot CH$
d)
Xét $\Delta BCN$ và $\Delta EBC$, ta có:
$\widehat{BCN}=\widehat{EBC}=90{}^\circ $
$\widehat{BNC}=\widehat{ECB}$ ( cùng phụ $\widehat{ECN}$ )
$\to \Delta BCN\backsim\Delta EBC\,\,\,\left( g.g \right)$
e)
Vì $\Delta BCN\backsim\Delta EBC\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \dfrac{BC}{BE}=\dfrac{CN}{BC}$
$\to BC.BC=BE.CN$
$\to AB.CD=BE.CN$
$\to \dfrac{CD}{BE}=\dfrac{CN}{AB}\,$
Mà $\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{CN}{AB}$ ( $AB\,\,||\,\,CN$, hệ quả định lý Ta – let )
$\to \dfrac{CD}{BE}=\dfrac{CM}{BM}$
Xét $\Delta CDM$ và $\Delta BEM$, ta có:
$\dfrac{CD}{BE}=\dfrac{CM}{BM}\,\,\,\left( cmt \right)$
$\widehat{DCM}=\widehat{EBM}=90{}^\circ $
$\to \Delta CDM\backsim\Delta BEM\,\,\,\left( c.g.c \right)$
$\to \widehat{CMD}=\widehat{BME}$ ( hai góc tương ứng )
Mà $\widehat{BME}+\widehat{CME}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )
$\to \widehat{CMD}+\widehat{CME}=180{}^\circ $
$\to \widehat{DME}=180{}^\circ $
$\to D,M,E$ thẳng hàng
