a) Xét hai tam giác vuông $\Delta AID$ và $\Delta CMD$ có:
$AD=CD$ (do tứ giác ABCD là hình vuông)
$\widehat{ADI}=\widehat{CDM}$ (cùng phụ với $\widehat{IDC}$)
$\Rightarrow\Delta AID=\Delta CMD$ (cạnh góc vuông- góc nhọn)
$\Rightarrow DI=DM$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
Và giả thiết cho $ID\bot DM$
$\Rightarrow\Delta DMI\bot$ cân tại $D$
$\Rightarrow\widehat{DMI}=45^o$
b) Ta có $\Delta DKM\bot D$, đường cao $CD\bot KM$
$\Rightarrow S_{DMK}=\dfrac{CD.MK}2=\dfrac{DM.DK}{2}$
$\Rightarrow CD.MK=DM.DK$ mà $DI=DM$ (chứng minh câu a)
$\Rightarrow CD.MK=DI.DK$ (đpcm)
c) Ta có
$\left( \dfrac{1}{DK} - \dfrac{1}{DM} \right)^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{DK^2} + \dfrac{1}{DM^2} \geq \dfrac{2}{DK.DM}$
Mặt khác, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $DKM$ ta có
$\dfrac{1}{DK^2} + \dfrac{1}{DM^2} = \dfrac{1}{DC^2}$
Khi đó, bất đẳng thức trở thành
$\dfrac{1}{DC^2} \geq \dfrac{2}{DK.DM}$
$\Leftrightarrow \dfrac{DK.DM}{2} \geq CD^2$
$\Leftrightarrow S_{DKM} \geq CD^2$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{1}{DK} = \dfrac{1}{DM}$ suy ra $DK = DM$
hay $\Delta DKM$ vuông cân tại $D$.
Suy ra $\widehat{DKM} = 45^{\circ}$
Mà $\widehat{DKM} = \widehat{IDA} = 45^{\circ}$ (2 góc so le trong)
Suy ra $ID$ là đường chéo của hình vuông $ABCD$.
Vậy $I \equiv B$.
