Giải thích các bước giải:
a.Ta có $ABCD$ là hình vuông $\to AB=BC$
$\to \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CN}{CB}$
$\to MN//AC$
Mặt khác $\widehat{MAC}=\widehat{ABC}=\widehat{BCA}=\widehat{NCA}$
$\to AMNC$ là hình thang cân
b.Ta có $ABCD$ là hình vuông, $O$ là tâm
$\to O$ là trung điểm $AC, DB$
Lại có $AB//CD\to \dfrac{MB}{DE}=\dfrac{OB}{OD}=1$
$\to MB=DE$
Do $AB//CD\to MB//DE\to MBED$ là hình bình hành
c.Ta có $E,F$ đối xứng qua $BD\to DE=DF$
$\to \Delta DEF$ vuông cân tại $D\to\widehat{DEF}=\widehat{DCA}(=45^o)$
$\to EF//AC$
Mà $MN//AC\to EF//MN$
Lại có: $ EF=DE\sqrt{2}=BM\sqrt{2}=MN$ vì $\Delta DEF, \Delta BMN$ vuông cân
$\to EF=MN$
$\to MNEF$ là hình bình hành
$\to ME\cap EF$ tại trung điểm mỗi đường
Mà $O$ là trung điểm $ME\to O$ là trung điểm $FN$
Ta có $E, F$ đối xứng qua $BD\to OE=OF$
$\to MNEF$ là hình chữ nhật
d.Để $MNEF$ là hình vuông
$\to OM\perp ON$
$\to \Delta MON$ vuông cân tại $O$
$\to \widehat{OMN}=45^o=\widehat{NMB}$
$\to \widehat{OMB}=90^o\to OM\perp AB\to M$ là trung điểm $AB$
