Đáp án: $2$
Giải thích các bước giải:
Gọi hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $1\to S_0=1^2=1$
Gọi $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm $AB, BC, CD, DA$
$\to AE=EB=BF=GC=GD=DH=HA=\dfrac12$
$\to EH=EF=FG=GH=AE\sqrt{2}=\dfrac12AB\cdot \sqrt{2}=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}$
Ta có $\Delta AEH, \Delta BEF, \Delta CGF, \Delta DHG$ là tam giác vuông cân
$\to \widehat{EHG}=180^o-\widehat{AHE}-\widehat{DHG}=90^o$
$\to EH\perp HG$
Tương tự $EF\perp FG, GH\perp GF, HE\perp EF$
$\to EFGH$ là hình vuông cạnh $EF=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\to$Diện tích hình vuông mới là $S_1=(\dfrac{AB}{\sqrt{2}})^2=\dfrac12\cdot AB^2=\dfrac12S_0$
Tương tự với các hình vuông tiếp theo
$\to$Diện tích các hình vuông là cấp số nhân có:
$\begin{cases} S_0=1\\ q=\dfrac12\end{cases}$
$\to$Tổng diện tích các hình vuông là:
$M=S_0+S_1+S_2+...+S_n$
$\to M=S_0+\dfrac12S_0+\dfrac{1}{2^2}S_0+...+\dfrac{1}{2^{n-1}}S_0$
$\to M=S_0(1+\dfrac12+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{n-1}})$
$\to M=S_0\cdot \dfrac{\dfrac{1}{2^n}-1}{\dfrac12-1}$
$\to M=1\cdot \dfrac{\dfrac{1}{2^n}-1}{-\dfrac12}$
$\to M=\dfrac{\dfrac{1}{2^n}-1}{-\dfrac12}$
Mà $n\to +\infty\to M=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\dfrac{1}{2^n}-1}{-\dfrac12}$
$\to M=\dfrac{0-1}{-\dfrac12}$
$\to M=2$
