Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đường chéo $NQ$ cắt $MH,MK$ lần lượt tại hai điểm $E,F$. Ta có $\widehat{EMH}=\widehat{ENH}=45^o$ từ đó tứ giác $MEHN$ nội tiếp ⇒ $\widehat{E_1}=\widehat{H_1}$.
Lại có $\widehat{E_2}=\widehat{HMN}$ nên $\widehat{MEH}=90^o$.
tương tự ta có tứ giác $MFKQ$ là tứ giác nội tiếp và $HE⊥MK$.
Kẻ đường cao $MD$ thì ta có $MD,KF,EF$ lần lượt là ba đường cao của $Δ MHK$. Bây giờ ta đi chứng minh $ΔMQK=ΔMDK$.
Ta có $\widehat{MKQ}=\widehat{MFQ}=\widehat{MKD}$ (do tứ giác MQKF nội tiếp và $ΔMEF$∽ $ΔMHK $ (cái này bạn tự chứng minh))
Từ đó ta có $ΔMQK=ΔMDK$(cạnh huyền-góc nhọn) nên tương tự ta cũng có $ΔMDH=ΔMNH$.
Vậy $S_{MNPQ}=S_{MQK}+S_{MNH}+S_{MHK}+S_{HKP}=2S_{MHK}+S_{HKP}$ (do $S_{MQK}=S_{MDK}$ và $S_{MDH}=S_{MNH}$). Vì $S_{MNPQ}$ không đổi nên để cho $S_{MHK}$ lớn nhất thì $S_{HKP}$ đạt nhỏ nhất. Ta có $P_{HKP}=HK+KP+HP=KP+HP+KD+DH=(KP+KQ)+(HP+NH)=NP+PQ=10$ (với P là chu vi của tam giác)
$S_{HKP}=\frac{1}{2}HP.KP$ nên để diện tích đạt nhỏ nhất thì $S_{HKP}=0$⇔ $HP=0$ hoặc $KP=0$. Với $HP=0$ thì $H≡P$ mà $\widehat{HMK}=45^o$ nên $K≡Q$. tương tự $K≡P$ ⇒$H≡N$
Lúc đó diện tích $max S_{MHK}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{25}{2}$ ($\text{đvdt}$
