Giải thích các bước giải:
a) Gọi $I$ là tâm đường tròn $(C_m)$
Ta có:
$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2mx - 2\left( {m + 1} \right)y + 2m - 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} + {y^2} - 2\left( {m + 1} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} + 2m - 1 - {m^2} - {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} + {\left( {y - m - 1} \right)^2} = 2{m^2} + 2\left( 1 \right)
\end{array}$
$ \to I\left( {m;m + 1} \right) \to I \in \left( d \right):x - y + 1 = 0$
Vậy $I\in \left( d \right):x - y + 1 = 0$
b) Ta có:
Từ $\left( 1 \right) \to R = \sqrt {2{m^2} + 2} \ge \sqrt {2},\forall m$
Suy ra: $MinR = \sqrt 2 $
Dấu bằng xảy ra: $ \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2$
Vậy $\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2$
c) Gọi $A(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà mọi đường tròn $(C_m)$ đi qua.
Ta có:
$\begin{array}{l}
{\left( {{x_0} - m} \right)^2} + {\left( {{y_0} - m - 1} \right)^2} = {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_0} - m} \right)^2} - {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {{y_0} - m - 1} \right)^2} - {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2m + 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right) + \left( {{y_0} - 2m - 2} \right){y_0} = 0(2)
\end{array}$
Suy ra $A(1;0)$ luôn thỏa mãn (2) với mọi $m$.
Vậy $A(1;0)$ luôn thuộc $(C_m)$ với mọi $m$
d) $(C_m)$ cắt $Oy$ $\to $ Hoành độ giao điểm của $(C_m)$ với $Oy$ là: $0$
Khi đó ta có tung độ của giao điểm của $(C_m)$ với $Oy$ thỏa mãn phương trình:
$\begin{array}{l}
{\left( {0 - m} \right)^2} + {\left( {y - m - 1} \right)^2} = 2{m^2} + 2\\
\Leftrightarrow {\left( {y - m - 1} \right)^2} = {m^2} + 2\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = m + 1 + \sqrt {{m^2} + 2} \\
y = m + 1 - \sqrt {{m^2} + 2}
\end{array} \right.
\end{array}$
Suy ra $(C_m)$ cắt $Oy$ tại 2 điểm phân biệt.
