Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
+) Xác định tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right)\).
+) Hình chữ nhật tạo bởi \(x = \pm a,\,\,y = \pm b\) là hình chữ nhật cơ sở của \(\left( H \right).\) Lấy điểm \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) thuộc hình chữ nhật cơ sở.
+) Phương trình chính tắc \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a > b} \right)\).
Giải chi tiết:\(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 + 9 = 25\)
\( \Rightarrow a = 4;\,\,b = 3;\,\,c = 5\)
\( \Rightarrow \) Tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;0} \right),\,\,{F_2}\left( {5;0} \right)\);
\( \Rightarrow \) Hình chữ nhật cơ sở của \(\left( H \right)\) có một đỉnh là \(M\left( {4;\,\,3} \right)\).
Giả sử phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b\).
Vì tiêu điểm của \(\left( E \right)\) trùng với tiêu điểm của \(\left( H \right)\) nên tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;0} \right),\,\,{F_2}\left( {5;0} \right)\).
\( \Rightarrow {a^2} - {b^2} = {5^2}\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì \(M\left( {4;\,\,3} \right) \in \left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b} \right)\)\( \Rightarrow \frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{16}}{{{a^2}}} + \frac{9}{{{b^2}}} = 1\)\( \Leftrightarrow 9{a^2} + 16{b^2} = {a^2}{b^2}\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = {5^2}\\9{a^2} + 16{b^2} = {a^2}{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 40\\{b^2} = 15\end{array} \right.\)
Vậy \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{{{y^2}}}{{15}} = 1\).
Chọn C.
