Giải thích các bước giải:

a.Kẻ $BG\perp EF=G, CJ\perp EF=J$
  Ta có: $AE=AF\to \Delta AEF$ cân tại $A$
$\to \widehat{AEF}=\widehat{AFE}$
$\to \widehat{CEJ}=\widehat{GFB}$
Mà $\widehat{BGF}=\widehat{CJE}=90^o$
$\to \Delta BGF\sim\Delta CJE(g.g)$
$\to\dfrac{BG}{CJ}=\dfrac{BF}{CE}=\dfrac{BD}{CD}$ vì $BF=BD, CE=CD$
Mà $DH\perp EF\to DH//BG//CJ$
$\to \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{GH}{JH}$
$\to \dfrac{BG}{CJ}=\dfrac{GH}{JH}$
$\to \dfrac{BG}{GH}=\dfrac{GH}{JH}$
Mà $\widehat{BGH}=\widehat{HJC}=90^o$
$\to \Delta BGH\sim\Delta CJH(c.g.c)$
$\to \widehat{GBH}=\widehat{RCJ}$
$\to \widehat{BHD}=\widehat{GBH}=\widehat{HCJ}=\widehat{DHC}$
$\to HD$ là phân giác $\widehat{BHC}$
b.Kẻ $TZ\perp IN, TZ$ đi qua $N, T\in AB, Z\in AC$
Ta có: $\widehat{TNI}=\widehat{TFI}=90^o$
$\to TNIF$ nội tiếp
$\to \widehat{ITN}=\widehat{IFN}$
Tương tự $\widehat{IZN}=\widehat{IEN}$
Mà $\widehat{IFN}=\widehat{IFE}=\widehat{IEF}=\widehat{IEN}=\widehat{IZN}$
$\to \Delta ITZ$ cân tại $I$
Mà $IN\perp TZ\to N$ là trung điểm $TZ$
$\to AN$ đi qua $L$ là trung điểm $BC$
c.Kẻ $KQ\perp BC=K, Q\in AI$
  Gọi $AQ\cap BC=V$
Ta có: $QK\perp BC\to QK//MD$
$\to \dfrac{AI}{AQ}=\dfrac{MI}{KQ}=\dfrac{DI}{DK}=\dfrac{VI}{VQ}$
$\to \dfrac{IA}{IV}=\dfrac{QA}{QV}$
Mà $BI$ là phân giác $\widehat{ABV}\to BQ$ là phân giác ngoài tại đỉnh $B$ của $\Delta ABC$
$\to Q$ là tâm đường tròn bàng tiếp tại đỉnh $A$ của $\Delta ABC$
Kẻ $QS\perp AB=S,QU\perp AC=U$
$\to BS=BK, CK=CU, AS=AU$
$\to 2CK=CK+CU=BC-BK+AU-AC=BC-BS+AS-AC=BC+(AS-BS)-AC=BC+AB-AC$
$\to CK=\dfrac{BC+AB-AC}{2}$
$\to CK=BD$
Mà $L$ là trung điểm $BC\to L$ là trung điểm $DK$
$\to LI$ là đường trung bình $\Delta DMK$
$\to LI//MK\to LI//AK$
Gọi $LI\cap AD=O$
$\to LO//AK\to LO$ là đường trung bình $\Delta ADK$
$\to O$ là trung điểm $AD$
$\to LI$ đi qua trung điểm của $AD$
d.Ta có $AE,AF$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A\to AE=AF$
Mà $XY//BC$
$\to \widehat{AXF}=\widehat{FDB}=\widehat{BFD}=\widehat{XFA}$
$\to \Delta AFX$ cân tại $A$
$\to AX=AF$
Chứng minh tương tự $AY=AE$
$\to AX=AY=AE=AF$
$\to A$ là trung điểm $XY$
$\to AF=AX=AY=\dfrac12XY\to \Delta XYF$ vuông tại $F$
$\to YF\perp FD$
Mà $MD$ là đường kính của $(O)\to MF\perp FD$
$\to Y,M,F$ thẳng hàng
Tương tự chứng minh được $X,M,E$ thẳng hàng
$\to FY\cap XE=M\in (I)$
e.Xét hình $II$
  Giọ $AD\cap (I)=G$
Ta có: $\Delta AFI$ vuông tại $F, FR\perp AI$
$\to AF^2=AR.AI$
Mà $AGD$ là cát tuyến của $(I)$ tại đỉnh $A, AF$ là tiếp tuyến của $(I)$
$\to AF^2=AG.AD$
$\to AG.AD=AR.AI$
$\to \dfrac{AG}{AR}=\dfrac{AI}{AD}$
Mà $\widehat{GAR}=\widehat{DAI}$
$\to\Delta AGR\sim\Delta AID(c.g.c)$
$\to \widehat{ARG}=\widehat{ADI}$
$\to GRID$ nội tiếp
$\to \widehat{ARG}=\widehat{GDI}=\widehat{IGD}=\widehat{IRD}$
Mà $EF\perp AI=R$
$\to \widehat{GRF}=90^o-\widehat{ARG}=90^o-\widehat{IRD}=\widehat{FRD}$
$\to \widehat{GRF}=\dfrac12\widehat{GRD}=\dfrac12\widehat{GID}=\widehat{GED}$
Mà $\widehat{GFR}=\widehat{GFE}=\widehat{GDE}$
$\to \Delta GFR\sim\Delta GDE(g.g)$
$\to \dfrac{GF}{GD}=\dfrac{FR}{DE}=\dfrac{RE}{DE}$
$\to \dfrac{GF}{RE}=\dfrac{GD}{DE}$
Mà $\widehat{FGD}=\widehat{FED}=\widehat{RED}$
$\to \Delta FGD\sim\Delta RED(c.g.c)$
$\to \widehat{FDG}=\widehat{RDE}$
$\to \widehat{FDG}+\widehat{GDR}=\widehat{RDE}+\widehat{GDR}$
$\to \widehat{FDR}=\widehat{GDE}$
$\to\widehat{FDR}=\widehat{EDA}$