`a)`

`K = ((x+1)/(x-1)-(x-1)/(x+1)+(x^2-4x-1)/(x^2-1) ) (x+2003)/x (\text{ĐKXĐ} : x \ne +-1 ; x \ne 0)`

`=  ( (x+1)^2 - (x-1)^2 + (x^2 - 4x - 1) ) /(x^2-1)  (x+2003)/x`

` = (( x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x+1) + (x^2 -4x-1))/(x^2 -1) (x+2003)/x`

`= (x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 + x^2 -4x-1)/(x^2-1) (x+2003)/x`

` = (x^2 -1)/(x^2-1) + (x+2003)/x`

` = 1 . (x+2003)/x`

` = (x+2003)/x`

`b)`

Để `K` nhận giá trị nguyên thì `(x+2003)/x` nhận giá trị nguyên và `x \in ZZ ; x \ne +-1 ; x \ne 0`

`<=> x + 2003 \vdots x`

`<=> 2003 \vdots x (do\ x \vdots x)`

`<=> x \in Ư(2003)`

`<=> x \in {1 ; -1 ; 2003 ; -2003}`

Mà `x \ne +-1 ` nên `x \in {2003 ; -2003}`

Vậy với `x \in {2003 ; -2003}` thì `K` nhận giá trị nguyên.

`a)` ĐKXĐ : `x ne +-1 ; 0`

`K=((x+1)/(x-1)-(x-1)/(x+1)+(x^2-4x-1)/(x^2-1)). (x+2003)/x`

`=((x+1)^2-(x-1)^2+(x^2-4x-1))/(x^2-1) . (x+2003)/x`

`=(x^2+2x+1-(x^2-2x+1)+x^2-4x-1))/(x^2-1). (x+2003)/x`

`=(x^2+2x+1-x^2+2x-1+x^2-4x-1)/(x^2-1) . (x+2003)/x`

`=(x^2-1)/(x^2-1) + (x+2003)/x`

`=1 . (x+2003)/x=(x+2003)/x`

`b)`

Để `K in ZZ to (x+2003)/x in ZZ`

`<=> x + 2003 vdots x`

`<=> 2003 vdots x`

`<=> x in Ư(2003)={1 ; -1 ; 2003 ; -2003}`

Mà `x ne +-1;0 `

`to x in {2003 ; -2003}`