Đáp án: $V_{SABCMN}=\dfrac{a^3\sqrt{11}}{18}$ (đơn vị điện tích)
Giải thích các bước giải:
Ta có: $\dfrac{V_{SAMN}}{V_{SABC}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}$
$=1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{V_{SABC}-V_{SAMN}}{V_{SABC}}=\dfrac{3-1}{3}=\dfrac{2}{3}$
$\Delta ABC$ đều cạnh $a$, $G$ là trọng tâm, $I$ là trung điểm cạnh $BC$
$\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}\sqrt{AC^2-IC^2}$
$=\dfrac{2}{3}\sqrt{a^2-(\dfrac{a}{2})^2}$
$=\dfrac{a}{\sqrt3}$
$\Delta $ vuông $SGA$ có $AG=\dfrac{a}{\sqrt3}$, $SA=2a$
$\Rightarrow SG=\sqrt{SA^2-AG^2}=\sqrt{(2a)^2-(\dfrac{a}{\sqrt3})^2}$
$=\dfrac{a\sqrt{11}}{\sqrt3}$
$\Rightarrow V_{SABC}=\dfrac{1}{3}SG.S_{ABC}$
$=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{11}}{\sqrt3}.\dfrac{1}{2}a.a\sin60^o=\dfrac{a^3\sqrt{11}}{12}$
$\Rightarrow V_{SABCMN}=\dfrac{2}{3}V_{SABC}=\dfrac{2}{3}\dfrac{a^3\sqrt{11}}{12}$
$=\dfrac{a^3\sqrt{11}}{18}$ (đơn vị điện tích).
