Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:
Vì \(ABCD\) là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a nên AD = CD = BC = a và \(\angle ACB = \angle ADB = {90^0}\).
Trong (SAC) kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).
Trong (ABCD) kẻ \(AM \bot CD\,\,\left( {M \in CD} \right)\), trong (SAM) kẻ \(AK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AM\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow CD \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot CD\\AK \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AK\, \bot \left( {SCD} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {AH;AK} \right)\).
Lại có \(AK \bot \left( {SCD} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AK \bot HK\). Do đó tam giác AHK vuông tại K \( \Rightarrow \angle HAK\) là góc nhọn.
Do đó \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {AH;AK} \right) = \angle HAK = \varphi \) và \(\cos \angle HAK = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Đặt \(SA = x\,\,\left( {x > 0} \right)\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \).
ABCD là nửa lục giác đều nên \(\angle DAB = {60^0}\) \( \Rightarrow \angle DAM = {30^0}\) \( \Rightarrow AM = AD.\cos {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\begin{array}{l}AH = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{x.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{x^2} + 3{a^2}} }}\\AK = \dfrac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{x.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }}\end{array}\)
Xét tam giác AHK vuông tại K ta có: \(\cos \angle HAK = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} = \dfrac{{AK}}{{AH}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} = \dfrac{{x.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }}:\dfrac{{x.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{x^2} + 3{a^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} = \dfrac{{x.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }}.\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 3{a^2}} }}{{x.a\sqrt 3 }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 3{a^2}} }}{{2\sqrt {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }}\\ \Leftrightarrow 40\left( {{x^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} \right) = 25\left( {{x^2} + 3{a^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 40{x^2} + 30{a^2} = 25{x^2} + 75{a^2}\\ \Leftrightarrow 15{x^2} = 45{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \end{array}\)
Ta có: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AM}}{2} = \dfrac{{\left( {2a + a} \right).\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{2} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .\dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{4}\).
Chọn B.