Cho khối chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và A.\(d = \dfrac{{3a}}{4}\) B.\(d = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\) C.\(d = \dfrac{{3a\sqrt 6 }}{4}\) D.\(d = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{8}\)
Đáp án đúng: B Giải chi tiết: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC//HD\\BC = HD\end{array} \right. \Rightarrow BCDH\) là hình bình hành \( \Rightarrow BH//CD \Rightarrow BH//\left( {SCD} \right)\). Do đó \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\), trong \(\left( {SHI} \right)\) kẻ \(HK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\) ta có: \(ABCH\) là hình vuông nên \(CH = AB = a = HD\) \( \Rightarrow \Delta HCD\) vuông cân tại \(H\) \( \Rightarrow HI \bot CD\). \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HI\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow CD \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot CD\\HK \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\end{array}\) Tam giác \(HCD\) vuông cân có \(HC = HD = a\) nên \(HI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHI\) ta có: \(HK = \dfrac{{SH.HI}}{{\sqrt {S{H^2} + H{I^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{6{a^2}}}{4} + \dfrac{{2{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\). Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\). Chọn B