Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \). Thể tích của khối chóp đã cho bằng A.\(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}.\) B.\(\frac{{{a^3}\sqrt {10} }}{6}.\) C.\(\frac{{{a^3}\sqrt {10} }}{2}.\) D.\(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}.\)
Đáp án đúng: B Phương pháp giải: - Xác định đường cao của khối chóp đều. - Sử dụng định lí Pytago để tính chiều cao của khối chóp. - Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}S.h\) với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao hình chópGiải chi tiết: Hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Theo bài ra ta có : \(AB = a;\,\,SA = a\sqrt 3 \). Hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) có \(AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Xét tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} \)\( = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\). Vậy thể tích khối chóp là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\)\( = \frac{1}{3}.SO.A{B^2} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {10} }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {10} }}{6}\). Chọn B.