Đáp án đúng: B

Giải chi tiết:
Trong (ABCD), kéo dài BM cắt AD tại E.
Trong (ADD’A’) nối NE cắt DD’ tại P.
Giả sử \(\left( {BMN} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = NQ\) , ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BMN} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = NQ\\\left( {BMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BM\\\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NQ\parallel BM\) \( \Rightarrow Q \in A'B'\).
Khi đó thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi \(\left( {BMN} \right)\) là ngũ giác \(BMPNQ\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BMN} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = BQ\\\left( {MNN} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = NP\\\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = AA'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BQ,\,\,NP,\,\,AA'\) đồng quy tại \(S\).
Gọi \({V_1}\) là thể tích phần thể tích chứa điểm \(A\), \(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}}\).
Ta có: \({V_1} = {V_{S.ABE}} - {V_{S.A'QN}} - {V_{P.MED}}\).
Gọi \(M'\) là trung điểm của \(C'D'\), \(E' = BM' \cap A'D'\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{E'M'}}{{E'B'}} = \dfrac{{E'D'}}{{E'A'}} = \dfrac{{D'M'}}{{A'B'}} = \dfrac{1}{2}\).
\( \Rightarrow 2A'N = 3ND' \Rightarrow A'N = \dfrac{3}{5}A'D' = \dfrac{3}{{10}}A'E'\).
Khi đó ta có: \(\dfrac{{QN}}{{BE'}} = \dfrac{{A'N}}{{A'E'}} = \dfrac{3}{{10}} = \dfrac{{QN}}{{BE}}\) (vì \(BE = B'E'\)).
Ta có: \(\dfrac{{SQ}}{{SB}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SE}} = \dfrac{{QN}}{{BE}} = \dfrac{3}{{10}}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.A'QN}}}}{{{V_{S.ABE}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SQ}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SE}} = {\left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)^3} = \dfrac{{27}}{{1000}}\).
Ta có: \({S_{ABE}} = {S_{ABMD}} + {S_{DME}} = {S_{ABMD}} + {S_{CMB}} = {S_{ABCD}}\); \(\dfrac{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A';\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{SA}}{{AA'}} = \dfrac{{10}}{7}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.ABE}}}}{V} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{10}}{7} = \dfrac{{10}}{{21}}\\ \Rightarrow {V_{S.ABE}} = \dfrac{{10}}{{21}}V\\ \Rightarrow {V_{S.A'QN}} = \dfrac{{27}}{{1000}}.\dfrac{{10}}{{21}} = \dfrac{9}{{700}}V\end{array}\)
Ta có: \(\dfrac{{PD'}}{{PD}} = \dfrac{{ND'}}{{DE}} = \dfrac{{ND'}}{{A'D'}} = \dfrac{2}{5}\).
\(\dfrac{{{S_{MDE}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{{S_{MCB}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{4};\,\,\dfrac{{d\left( {P;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {D';\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{PD}}{{DD'}} = \dfrac{5}{7}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{P.MDE}}}}{V} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{5}{7} = \dfrac{5}{{84}}V\).
\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{{10}}{{21}}V - \dfrac{9}{{700}}V - \dfrac{5}{{84}}V = \dfrac{{212}}{{525}}V\).
\( \Rightarrow \) Thể tích phần còn lại là \({V_2} = V - {V_1} = \dfrac{{313}}{{525}}V\).
Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{212}}{{313}}\).
Chọn B.