Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:
+ Gọi chiều cao lăng trụ là \(h\) và diện tích đáy là \(S = {S_{ABC}} = {S_{A'B'C'}}\) thì thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = h.S\)
+ Xét khối chóp \(G.A'B'C'\) có \({V_{G.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {G;\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}h.S = \dfrac{V}{3}\) (1)
+ Xét khối chóp \(C'.ABC\) có \({V_{C'ABC}} = \dfrac{1}{3}h\left( {C';\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}h.S = \dfrac{V}{3}\) nên
\({V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{2}{3}V\left( { = \dfrac{1}{3}d\left( {C';\left( {ABB'A'} \right)} \right).{S_{ABB'A'}}} \right)\)
Lại có
\(\begin{array}{l}{V_{ABB'C'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C';\left( {ABB'A'} \right)} \right).{S_{ABB'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}d\left( {C';\left( {ABB'A'} \right)} \right).{S_{ABB'A'}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}{V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2V}}{3} = \dfrac{V}{3}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\).
+) Xét khối chóp \(BB'MN\) có \({S_{MBB'}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABB'A'}}\) (có cùng cạnh đáy \(BB'\) và chiều cao bằng nhau)
\(\begin{array}{l}{V_{N.BB'M}} = \dfrac{1}{3}d\left( {N;\left( {BB'A'A} \right)} \right).{S_{MBB'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C';\left( {BB'A'A} \right)} \right).\dfrac{1}{2}{S_{ABB'A'}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}{V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2V}}{3} = \dfrac{V}{3}\end{array}\) (3)
+) Xét khối chóp \(A'BCN\) có \({S_{BCN}} = \dfrac{1}{2}d\left( {B;CC'} \right).CN = \dfrac{1}{2}d\left( {B;CC'} \right).\dfrac{4}{5}CC' = \dfrac{4}{5}.{S_{BCC'}}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}{V_{A'.BCN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{BCN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right).\dfrac{4}{5}{S_{BCC'}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{4}{5}\left( {\dfrac{1}{3}d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{BCC'}}} \right) = \dfrac{4}{5}{V_{A'.BCC'}} = \dfrac{4}{5}.\dfrac{1}{2}{V_{A'.BCC'B'}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{5}.\left( {V - {V_{A'.ABC}}} \right) = \dfrac{2}{5}\left( {V - \dfrac{V}{3}} \right) = \dfrac{V}{5}\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra khối tứ diện có thể tích nhỏ nhất là \(A'BCN\).
Chọn B
