Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\Delta ABC$ và $\Delta BCD$ đều
$\Rightarrow AM\bot BC$ và $DM\bot BC$
$\Rightarrow \widehat{(ABC),(BCD)}=\widehat{(AM,DM)}$
$=\widehat{AMD}=60^o$
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ABM$ và $\Delta $ vuông $CDM$ ta có:
$AM^2=DM^2=CD^2-CM^2=a^2-(\dfrac{a}{2})^2=\dfrac{3a^2}{4}$
$\Rightarrow AM=DM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow \Delta AMD$ cân đỉnh $M$ có $widehat{AMD}=60^o$
$\Rightarrow \Delta AMD$ đều
Gọi $H$ là trung điểm của $MD$
$\Rightarrow AH\bot MD$ (1)
Ta có: $BC\bot AM$ và $BC\bot DM$
$\Rightarrow BC\bot(ADM)\Rightarrow AH\subset(ADM)$ sẽ $\bot BC$
$AH\bot BC$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot (BCD)$
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta AMH$ ta có:
$AH^2=AM^2-MH^2=(\dfrac{a\sqrt3}{2})^2-(\dfrac{a\sqrt3}{4})^2=\dfrac{9a^2}{16}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{3a}{4}$
$\Rightarrow V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}AH.S_{BCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{4}.\dfrac{1}{2}.a.a.\sin60^o=\dfrac{a^3\sqrt3}{16}$
