Đáp án:
$V_{A'ACM}=\dfrac{a^3\sqrt3}{48}$
Giải thích các bước giải:
$∆ABC$ đều cạnh $a$
$\to S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$
Ta có: $M$ là trung điểm $BC$
$\to \begin{cases}\\S_{ACM}=\dfrac12S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{8}\\AM =\dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$
Mặt khác:
$∆A'AB$ và $∆A'AC$ có:
$AA':$ cạnh chung
$AB = AC$
$\widehat{A'AB}=\widehat{A'AC}=90^\circ$ (lăng trụ đứng)
Do đó $∆A'AB=∆A'AC\, (c.g.c)$
$\to A'B = A'C$
$\to ∆A'BC$ cân tại $A'$
Lại có $M$ là trùn điểm cạnh đáy $BC$
$\to A'M\perp BC$
Ta có:
$\begin{cases}(A'BC)\cap (ABC)=BC\\AM\perp BC\\AM\subset (ABC)\\A'M\perp BC\\A'M\subset (A'BC)\end{cases}$
$\to \widehat{((A'BC);(ABC))}=\widehat{A'MA}= 30^\circ$
$\to AA' = AM.\tan30^\circ = \dfrac a2$
Ta được:
$V_{A'ACM}=\dfrac13S_{ACM}.AA' =\dfrac13\dfrac{a^2\sqrt3}{8}\cdot \dfrac a2 =\dfrac{a^3\sqrt3}{48}$
