$m,p$ nguyên tố nên $m\ge 2,p\ge 2$
$\to mp\ge 4\\\to mp+1\ge 5\\\to r\ge 5$
$r$ nguyên tố nên $r$ lẻ.
$\to mp+1$ lẻ mà $1$ lẻ $\to mp$ chẵn.
$\to m$ hoặc $p$ chẵn.
$\to m=2$ hoặc $p=2$($m,n$ nguyên tố).
$(*)m=2\to 2p+1=r\\\to p^2+r=p^2+2p+1=(p+1)^2$
$\to p^2+r$ là số chính phương. $(1)$
$(*)p=2\to 2m+1=r\\\to m^2+r=m^2+2m+1=(m+1)^2$
$\to m^2+r$ là số chính phương. $(2)$
$(1),(2)\to$Đpcm.