Cho hai số dương \(a,\,\,b\) với \(a \ne 1\). Đặt \(M = {\log _{\sqrt a }}b\). Tính \(M\) theo \(N = {\log _a}b\).
A.\(M = \dfrac{1}{2}N\)
B.\(M = 2N\)
C.\(M = \sqrt N \)
D.\(M = {N^2}\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,BC\). Điểm \(I\) thuộc đoạn \(SA\). Biết mặt phẳng \(\left( {MNI} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\)  thành hai phần, phần chứa đỉnh \(S\) có thể tích bằng \(\dfrac{7}{{25}}\) lần phần còn lại. Tính tỉ số \(\dfrac{{IA}}{{IS}}\)?
A.\(\dfrac{5}{3}\)   
B.\(\dfrac{2}{3}\)
C.\(\dfrac{3}{2}\)
D.\(\dfrac{3}{5}\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với \(\Delta \) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính lớn nhất. Phương trình \(\left( \alpha  \right)\) là:
A.\(3x - 2y - z - 5 = 0\)  
B.\(3x - 2y - z + 5 = 0\)
C.\(3x - 2y - z + 15 = 0\)
D.\(3x - 2y - z - 15 = 0\)

Một kỹ sư mới ra trường làm việc với mức lương khởi điểm là 5.000.000 đồng/tháng. Cứ sau 9 tháng làm việc, mức lương của kỹ sư đó lại được tăng thêm 10%. Hỏi sau 4 năm làm việc tổng số tiền lương kỹ sư đó nhận được là bao nhiêu?
A.298.887.150 đồng  
B.296.691.000 đồng
C.291.229.500 đồng
D.301.302.915 đồng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc \(d:\,\,\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\) và tiếp xúc với \(\left( P \right):\,\,3x + 2y + z - 6 = 0\), \(\left( Q \right):\,\,2x + 3y + z = 0\) là:
A.\({\left( {x - 11} \right)^2} + {\left( {y - 17} \right)^2} + {\left( {z + 17} \right)^2} = \dfrac{{65}}{{14}}\)   
B.\({\left( {x + 11} \right)^2} + {\left( {y + 17} \right)^2} + {\left( {z - 17} \right)^2} = 224\)
C.\({\left( {x + 11} \right)^2} + {\left( {y + 17} \right)^2} + {\left( {z - 17} \right)^2} = 229\)
D.\({\left( {x - 11} \right)^2} + {\left( {y + 17} \right)^2} + {\left( {z + 17} \right)^2} = 225\)

Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và có thể tích \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\). Tìm số \(r > 0\) sao cho tồn tại điểm \(J\) nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ \(J\) đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng \(r\)?
A.\(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)   
B.\(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
C.\(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
D.\(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). \({d_B},\,\,{d_C}\) lần lượt là đường thẳng đi qua \(B,\,\,C\) và vuông góc \(\left( {ABC} \right)\). \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và hợp với \(\left( {ABC} \right)\) một góc bằng \({60^0}\). \(\left( P \right)\) cắt \({d_B},\,\,{d_C}\) tại \(D\) và \(E\). \(AD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\), \(AE = a\sqrt 3 \). Đặt \(\beta  = \angle DAE\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.\(\beta  = {60^0}\)   
B.\(\sin \beta  = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\)
C.\(\sin \beta  = \dfrac{2}{{\sqrt 6 }}\)
D.\(\beta  = {30^0}\)

Chính sách đối ngoại của Ấn Độ sau khi giành độc lập là
A.ngả về các nước phương Tây.
B.hòa bình, trung lập tích cực.
C.tăng cường thiết lập quan hệ với các nước lớn.
D.hòa bình, trung lập.

Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{{{x^2} + 3}}{2}{\log _2}x = 1 - {\log _2}\dfrac{y}{x} - {x^2}{\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt x \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4{x^3} + {y^3} - 4{\log _2}\left( {4{x^3} + {y^3}} \right)\) được viết dưới dạng \(a - b{\log _2}c\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) đều là các số thực thuộc khoảng \(\left( {2;\dfrac{{11}}{2}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2} - c\).
A.\(\dfrac{{69}}{4}\)   
B.\(35\)
C.\(\dfrac{{71}}{4}\)         
D.\(29\)

Trong không gian \(Oxyz\), tập hợp các điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) sao cho \({a^2} + {b^2} \le 2,\,\,\left| c \right| \le 8\) là một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó?
A.\(16\pi \)
B.\(128\pi \)
C.\(32\pi \)
D.\(64\pi \)