Giải thích các bước giải:
a.Ta có : $HE\perp AB,HF\perp AC$
$\to \widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^o+90^o=180^o$
$\to AEHF$ nội tiếp
b.Ta có : $HE\perp AB,AH\perp BC\to AH\perp HB$
$\to AE.AB=AH^2$
Tương tự $\to AF.AC=AH^2\to AE.AB=AF.AC$
$\to \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$
Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}\to \Delta AEF\sim\Delta ACB(c.g.c)$
c.Từ câu b$\to \widehat{AEF}=\widehat{ACB}\to BEFC$ nội tiếp
$\to \widehat{PEB}=\widehat{PCF}\to \Delta PEB\sim\Delta PCF(g.g)$
$\to \dfrac{PE}{PC}=\dfrac{PB}{PF}\to PE.PF=PB.PC$
Ta có : $\widehat{BHE}=\widehat{EAH}(+\widehat{AHE}=90^o)$
$\to \widehat{PHE}=\widehat{BHE}=\widehat{HAE}=\widehat{EFH}=\widehat{PFH}$
$\to \Delta PEH\sim\Delta PHF(g.g)$
$\to \dfrac{PE}{PH}=\dfrac{PH}{PF}\to PE.PF=PH^2$
$\to PH^2=PB.PC$
d.Vì AK là đường kính của (O)$\to KQ\perp AQ\to KQ\perp AP(1)$
Ta có : $AQBC$ nội tiếp (O)
$\to \widehat{PQB}=\widehat{PCA}\to \Delta PQB\sim\Delta PCA(g.g)$
$\to \dfrac{PQ}{PC}=\dfrac{PB}{PA}\to PQ.PA=PB.PC$
Mà $PB.PC=PE.PF\to PQ.PA=PE.PF$
$\to \dfrac{PQ}{PF}=\dfrac{PE}{PA}\to \Delta PQE\sim\Delta PFA(c.g.c)$
$\to \widehat{PQE}=\widehat{PFA}\to AQEF$ nội tiếp
Mà $AEHF$ nội tiếp
$\to A,Q,E,H,F$ cùng thuộc một đường tròn
$\to \widehat{HQA}=\widehat{HEA}=90^o\to HQ\perp AP(2)$
Từ (1) và (2)
$\to H,K,Q$ thẳng hàng
