Giải thích các bước giải:
$1/$ ĐK: $x≥0$
$A=x+\sqrt[]{x}-2=(\sqrt[]{x})^2+2.\frac{1}{2}.\sqrt[]{x}+(\frac{1}{2})^2-\frac{7}{4} $
$=(\sqrt[]{x}+\frac{1}{2})^2-\frac{7}{4}$
Vì $(\sqrt[]{x}+\frac{1}{2})^2≥\frac{1}{4}$
$⇒(\sqrt[]{x}+\frac{1}{2})^2-\frac{7}{4}≥\frac{1}{4}-\frac{7}{4}=\frac{-3}{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $\frac{-3}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=0$
$2/$ ĐK: $x≥0$
$A=x-\sqrt[]{x}+3=(\sqrt[]{x})^2-2.\frac{1}{2}.\sqrt[]{x}+(\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4} $
$=(\sqrt[]{x}-\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}$
Vì $(\sqrt[]{x}-\frac{1}{2})^2≥0$
$⇒(\sqrt[]{x}-\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}≥\frac{11}{4}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $\frac{11}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=\frac{1}{4}$
$3/$ ĐK: $x≥0$
$A=\frac{2}{x-\sqrt[]{x}+2 }$
Ta có:
$x-\sqrt[]{x}+2=(\sqrt[]{x})^2-2.\frac{1}{2}.\sqrt[]{x}+(\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4} $
$=(\sqrt[]{x}-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}$
Vì $(\sqrt[]{x}-\frac{1}{2})^2≥0$
$⇒(\sqrt[]{x}-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}≥\frac{7}{4}$
$⇒A=\frac{2}{x-\sqrt[]{x}+2 }≤\frac{2}{\frac{7}{4}}=\frac{8}{7}$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $\frac{8}{7}$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=\frac{1}{4}$
$4/$ ĐK: $x≥0$
$A=\frac{-2}{2x+\sqrt[]{x}+3 }$
Ta có:
$2x+\sqrt[]{x}+3=(\sqrt[]{2x})^2-2.\frac{1}{2√2}.\sqrt[]{2x}+(\frac{1}{2√2})^2+\frac{23}{8} $
$=(\sqrt[]{2x}+\frac{1}{2√2})^2+\frac{23}{8}$
Vì$ (\sqrt[]{2x}+\frac{1}{2√2})^2≥\frac{1}{8}$
$⇒(\sqrt[]{2x}+\frac{1}{2√2})^2+\frac{23}{8}≥3$
$⇒A=\frac{2}{2x+\sqrt[]{x}+3 }≤\frac{2}{3} $
$⇒A=\frac{-2}{2x+\sqrt[]{x}+3 }≥\frac{-2}{3}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $\frac{-2}{3}$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=0$
