Bài 7:

Ta có: $x^{4}  + (x^{2} + 1).\sqrt{x^{2} + 1} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} - 1)(x^{2} + 1) + (x^{2} + 1).\sqrt{x^{2} + 1} = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} +1)(x^{2} - 1 + \sqrt{x^{2} + 1}) = 0$

Do $x^{2} + 1 > 0$

nên $x^{2} - 1 + \sqrt{x^{2} + 1} = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} + 1) + \sqrt{x^{2} + 1} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2} + 1} - 1)(\sqrt{x^{2} + 1} + 2) = 0$

Do $\sqrt{x^{2} + 1} + 2 > 0$

nên $\sqrt{x^{2} + 1} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 1} = 1$

$\Leftrightarrow x^{2} + 1 = 1$

$\Leftrightarrow x^{2} = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$

Vậy $x = 0$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 6:

a)

• Ta có: $AD\perp BM$ $(gt)$

$\Rightarrow \widehat{ADM} = 90^o$

$AD\perp CM$ $(gt)$
$\Rightarrow \widehat{AEM} = 90^o$

Xét tứ giác $ADME$ có:

$\widehat{ADM} + \widehat{AEM} = 180^o$

Do đó $ADME$ là tứ giác nội tiếp

• Ta có: $AF\perp BC$ $(gt)$

$\Rightarrow \widehat{AFC} = 90^o$

Xét tứ giác $ACEF$ có:

$\widehat{AFC} = \widehat{AEC} = 90^o$

mà $\widehat{AFC}$  và $\widehat{AEC}$ cùng nhìn cạnh $AC$

nên $ACEF$ là tứ giác nội tiếp

b)

Ta có: $ABMC$ nội tiếp $(O)$

$\Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (cùng bù $\widehat{ABM}$)

Xét $∆DAB(\widehat{D}= 90^o)$ và $∆EAC(\widehat{E} = 90^o)$ có:

$\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ $(cmt)$

Do đó $∆DAB\sim ∆EAC$ $(g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AC}$

Hay $AB.AE = AC.AD$

c)

Ta có $\widehat{AFD} = \widehat{ABF}$ (cùng nhìn cạnh $AD$)

mà $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (cùng bù $\widehat{ABM}$)

nên $\widehat{AFD} = \widehat{ACE}$

Ta lại có: $\widehat{EFC} = \widehat{EAC}$ (cùng nhìn cạnh $AC$)

$\Rightarrow \widehat{AFD} + \widehat{EFC} = \widehat{ACE} + \widehat{EAC} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{AFD} + \widehat{EFC} + \widehat{AFC} = 90 + 90 = 180^o$

$\Rightarrow D, F, E$ thẳng hàng

mà $F$ cố định

$\Rightarrow DE$ đi qua một điểm cố định

d)

Ta có: $ADME$ nội tiếp (câu a)

$\widehat{ADM} = \widehat{AEM} = 90^o$

$\widehat{ADM}$ và $\widehat{AEM}$ cùng nhìn đường chéo $AM$

$\Rightarrow ADME$ nội tiếp đường tròn đường kính $AM$

Gọi $I$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $ADME$

$\Rightarrow ID + IE \geq DE$

$DE$ lớn nhất $\Leftrightarrow DE = ID + IE = 2R'$

$\Leftrightarrow DE = AM$

mà $AM$ là dây cung của $(O)$

nên $AM$ lớn nhất khi $AM$ là đường kính

hay $M$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$

Vậy để $DE$ lớn nhất thì $M$ đối xứng với $A$ qua $O$