Đáp án và giải thích các bước giải:
Xét `ΔAKH` và `ΔAHB` có :
`HK⊥AB` ; `AH⊥BC`
`⇒` `\hat{AKH}=\hat{AHB}=90^o`
`\hat{BAH}` chung
`⇒` `ΔAKH` $\backsim$ `ΔAHB` `(g.g)`
`⇒` `{HK}/{BH}={AH}/{AB}`
`⇒` `HK.AB=BH.AH`
Xét `ΔABC` có : `\hat{BAC}=90^o`
`⇒` `AB^2=BH.BC` ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )
`⇒` `BH={AB^2}/{BC}`
Có : `AH.BC=AB.AC` ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )
`⇒` `AH^2.BC^2=AB^2.AC^2`
`⇔` `AH^2.(AB^2+AC^2)=AB^2.AC^2`
`⇔` `AH^2={AB^2.AC^2}/{AB^2+AC^2}`
`⇔` `AH=\sqrt[{AB^2.AC^2}/{AB^2+AC^2}]`
`⇔` `AH={AB.AC}/{BC}`
Xét `ΔAHB` có : `\hat{AHB}=90^o`
`⇒` `HK.AB=AH.BH` ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )
`⇒` `HK={AH.BH}/{AB}`
`⇔` `HK={{AB.AC}/{BC}.{AB^2}/{BC}}/{AB}`
`⇔` `HK={AB.AC}/{BC}.{AB^2}/{BC}.{1}/{AB}`
`⇔` `HK={AB^2.AC}/{BC}`
Mà : `BC^2=AB^2+AC^2`
`⇒` `HK={AB^2.AC}/{AB^2+AC^2}`
