Đáp án:
Đặt `a_{n} = (1 + 1/n)^{2n + 1}` , Đầu tiên ta c/m BĐT sau :
`((k^2 - 1)/k^2)^{2k + 1} (1 + 1/(k - 1))^2 < 1 (1) (k = 2,3,...)`
`<=> (1 + 1/(k^2 - 1))^{2k + 1} > (1 + 1/(k - 1))^2`
Do : `(1 + 1/(k^2 - 1))^{2k + 1} = 1 + C_{2k + 1}^1 1/(k^2 - 1) + C_{2k + 1}^2 1/(k^2 - 1)^2 + C_{2k + 1}^3 1/(k^2 - 1)^3 + ...` , và chú ý đến : `VP = 1 + 2/(k - 1) + 1/(k - 1)^2`
Do đó ta chỉ cần c/m
` C_{2k + 1}^1 1/(k^2 - 1) + C_{2k + 1}^2 1/(k^2 - 1)^2 + C_{2k + 1}^3 1/(k^2 - 1)^3 > 2/(k - 1) + 1/(k - 1)^2`
`<=> (2k + 1)/(k^2 - 1) + (k(2k + 1))/(k^2 - 1)^2 + (k(2k + 1)(2k - 1))/(3(k^2 - 1)^3) > 1/(k - 1)^2 + 2/(k - 1)`
`<=> 2/(k - 1) - 1/(k^2 - 1) + (k(2k + 1))/(k^2 - 1)^2 + (k(2k + 1)(2k - 1))/(3(k^2 - 1)^3) > 1/(k - 1)^2 + 2/(k - 1)`
`<=> (k(2k + 1))/(k^2 - 1)^2 + (k(2k + 1)(2k - 1))/(3(k^2 - 1)^3) > (2k)/[(k^2 - 1)(k - 1)]`
`<=> (2k + 1)/(k + 1) + (4k^2 - 1)/[3(k + 1)^2(k - 1)] > 2`
`<=>(4k^2 - 1)/[3(k + 1)^2(k - 1)] > 1/(k + 1)`
`<=> 4k^2 - 1 > 3k^2 - 3`
`<=> k^2 + 2 > 0 ( luôn đúng)`
Quay lại bài toán , ta c/m `a_{k} < a_{k} - 1` , thật vậy ta có :
`a_{k}/(a_{k} - 1) = (1 + 1/k)^{2k + 1}/(1 + 1/(k - 1))^{2k - 1} = ((k^2 - 1)/k^2)^{2k + 1} (1 + 1/(k - 1))^2 < 1 ( Do (1) )`
Vậy `a_{k} < a_{k} - 1`
Cho `k = 2,3,4 ... ` ta sẽ có :
`8 = a_1 > a_2 > a_3 > ...`
Vậy `a_{n} <= 8 (*)`
`_______________________________`
Để c/m `a_{n} > 7`, trước hết ta c/m BĐT Sau :
`(1 + a)^m >= 1 + ma + (m - 1)^2a^2 (2)`
Trong đó : `m in N , a > 0` và `(m - 1)[a(m - 1) - 1] >= 0`
Khi `m = 1` , thì `(2) -> đúng`
Giả sử `(2)` đúng với `m = k` , ta c/m `(2)` cũng đúng với `m = k + 1` :
`(1 + a)^{k + 1} = (1 + a)(1 + a)^k >= (1 + a)[1 + ka + (k - 1)^2a^2]`
` = 1 + ka + (k - 1)^2a^2 + a + ka^2 + (k - 1)^2a^3`
`= 1 + (k + 1)a + k^2a^2 + a^2 - ka^2 + (k - 1)^2a^3`
`= 1 + (k + 1)a + k^2a^2 + a^2(k - 1)[a(k - 1) - 1]`
`>= 1 + (k + 1)a + k^2a^2 (đpcm)`
Áp dụng BĐT `(2)` , đặt `a = 1/n , m = 2n + 1` , ta có
`(1 + 1/n)^{2n + 1} >= 1 + (2n + 1)/n + (2n + 1 - 1)^2/n^2 = 7 + 1/n > 7`
Vậy `a_{n} > 7 (***)`
Từ `(*)(***) -> đ.p.c.m`
Giải thích các bước giải:
