Với mọi số nguyên $a,b$ và số tự nhiên $n$ ta có:
$a^{2n +1} + b^{2n +1} \quad \vdots \quad a + b$
Xét tổng: $Q = 1^k + 2^k +\dots + n^k$ $(k \,\,lẻ)$
Ta có:
$+) \, \,2Q = 2(1^k + 2^k +\dots + n^k)$
$= (1^k + n^k) + (2^k + (n-1)^k) + \dots + ((n-1)^k + 2)^k + (n^k +1^k)$
$\Rightarrow 2Q \,\,\vdots\,\, n +1$ $(1)$
$+)\, \, 2Q = 2(1^k + 2^k +\dots + n^k)$
$= 2n^k + (1^k + (n -1)^k) + \dots + ((n -2)^k + 2^k) + ((n -1)^k + 1^k) $
$\Rightarrow 2Q\,\,\vdots\,\,n$ $(2)$
$(1)(2) \Rightarrow 2Q \,\,\vdots\,\,n(n +1)$
Hay $Q\,\,\vdots\,\,\dfrac{n(n +1)}{2}$
Ta đã biết: $\dfrac{n(n +1)}{2} = 1 + 2 + \dots + n$
Do đó $1^k + 2^k +\dots + n^k \,\,\vdots\,\, 1 + 2 + \dots+ n$
Với $k = 5$ ta được:
$T_{n} = 1^5 + 2^5 + \dots +n^5$
Do đó $T_{n} \,\,\vdots\,\,1 + 2 + \dots + n$
Hay $T_{n} \,\,\vdots\,\,A_{n}$
