a. Ta có Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn => Ax vuông AB
=> ∆IAB vuông tại A
Ta lại có góc AMB = 90° (nhìn đường kính AB)
=> AM vuông MB
=> AM là đường cao ứng với cạnh BI trong ∆IAB
Áp dụng hệ thức lượng vào ∆IAB vuông tại A, đường cao AH ta được:
IA^2 = IM.IB
b.
Ta có AF là đường phân giác của góc MAI (gt)
=> Góc IAF = góc MAF
=> Cung AE = cung EM
Ta lại có góc AFB = cung AB - cung EM
Góc FAB = cung EB = cung AB - cung AE
Do đó góc AFB = góc FAB
=> ∆BAF cân tại B
c.
Gọi O là tâm đường tròn đường kính AB
=> O là trung điểm AB
Ta có góc MBA = cung AM/2 = cung AE
Mà cung AE = góc AOE
Nên góc MBA = góc AOE
=> OE // BM (hai góc đồng vị bằng nhau)
Mà O là trung điểm AB
Nên EO là đường trung bình trong ∆BAF
=> AE = EF
Xét ∆AHK có
AE là đường phân giác của góc HAK
Góc AEB = 90° (nhìn đường kính AB)
=> AE vuông BH
Hay AE là đường cao ứng với cạnh HK
Do đó ∆AHK cân tại A
=> AE là trung tuyến ứng với cạnh HK
Hay EH = EK
Xét tứ giác AKFH có
AF cắt HK tại E
AF vuông HK (góc AEK = 90°)
EA = EF (cmt)
EH = EK (cmt)
Do đó AKFH là hình thoi
d.
Tứ giác AKFI là tứ giác nội tiếp
=> Góc AIF = góc FKM
Mà góc FKM = góc IAM (đồng vị)
Góc IAM = góc MBA (cùng phụ góc MAB)
Nên góc AIF = góc MBA
=> ∆ABI vuông cân tại A
=> Góc MBA = 45°
Xét ∆MAB vuông tại M có góc MBA = 45°
=> ∆MAB vuông cân tại M
=> MA = MB
=> Cung MA = cung MB
=> M là điểm chính giữa của cung AB
