Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp.
Ta có \(\angle ACB = \angle ADB = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle FCE = \angle FDE = {90^o}\)
Tứ giác CEDF có: \(\angle FCE + \angle FDE = {180^o}\)
Mà hai góc này là hai góc đối của tứ giác \(CEDF.\)
\( \Rightarrow \) CEDF là tứ giác nội tiếp (dhnb).
2) Chứng minh \(FC.FA = FD.FB\).
Xét \(\Delta FCB\) và \(\Delta FDA\) có:
\(\begin{array}{l}\angle F\;\;chung\\\angle FCB = \angle FDA = {90^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta FCB \sim \Delta FDA\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{FC}}{{FD}} = \frac{{FB}}{{FA}}\)  (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow FC.FA = FD.FB\;\;\left( {dpcm} \right).\)  
3) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).
Ta có: \(OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OAC = \angle OCA\)  (hai góc kề đáy của tam giác cân)  (1)
Lại có: I là trung điểm của EF, \(\Delta ECF\) vuông tại \(C\)
\( \Rightarrow IC = IF = IE\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \Delta ICF\) cân tại I  \( \Rightarrow \angle ICF = \angle IFC\) (hai góc kề đáy của tam giác cân)   (2)
Xét \(\Delta FAB\) có \(AD \bot BF\,\, ; \,\,BC \bot AF\,\,;\,\,AD \cap BC = \left\{ E \right\}\)
\( \Rightarrow \) E là trực tâm của \(\Delta FAB\) \( \Rightarrow FE \bot AB\) (ba đường cao của tam giác cắt nhau tại 1 điểm).
Gọi FE vuông góc với AB tại H
Xét \(\Delta FHA\) vuông tại H \( \Rightarrow \angle HFA + \angle HAF = {90^o}\) hay \(\angle IFC + \angle OAC = {90^o}\;\;\left( 3 \right)\)
Từ (1),  (2) và (3) \( \Rightarrow \angle ICF + \angle OCA = \angle IFC + \angle OAC = {90^o}\)  (cmt)
\( \Rightarrow \angle ICO = {90^o} \Rightarrow IC \bot OC\)
Kết hợp \(C \in \left( O \right) \Rightarrow \) IC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\). (đpcm)
4) Hỏi khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, E thuộc đường tròn cố định nào?
Chứng minh tương tự c) ta cũng được \(ID \bot OD\)
\( \Rightarrow ICOD\) là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Lại có \(OC = OD = R\) \( \Rightarrow ICOD\) là hình vuông cạnh R (dhnb)
\( \Rightarrow IC = OD = R\)
Mà \(IE = IC\left( {cmt} \right) \Rightarrow IE = R.\)
Gọi T  là điểm chính giữa cung AB không chứa C (T cố định).
\( \Rightarrow OT \bot AB\) mà  \(FE \bot AB\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow OT//FE\) hay \(OT//IE\) (từ vuông góc đến song song)
Mặt khác \(OT = IE = R\) \( \Rightarrow IETO\) là hình bình hành (dhnb)
\( \Rightarrow TE = OI = R\sqrt 2 \) (\(ICOD\) là hình vuông cạnh R)
Vậy E  thuộc \(\left( {T;R\sqrt 2 } \right).\)