a)
$\Delta OAC$ cân tại $O$ $\left( OA=OC=R \right)$
Có $\widehat{AOC}=60{}^\circ $
$\to \Delta OAC$ là tam giác đều
$\to \widehat{CAB}=60{}^\circ $
$\Delta ACB$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính
$\to \widehat{ACB}=90{}^\circ $
$\to \Delta ACB$ vuông tại $C$
$\to \widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90{}^\circ $
$\to \widehat{CBA}=90{}^\circ -\widehat{CAB}$
$\to \widehat{CBA}=90{}^\circ -60{}^\circ $
$\to \widehat{CBA}=30{}^\circ $
Kết luận: $\begin{cases}\widehat{ACB}=90{}^\circ\\\widehat{CAB}=60{}^\circ\\\widehat{CBA}=30{}^\circ\end{cases}$
b)
$E$ là điểm chính giữa $\overset\frown{AC}$
$\to \overset\frown{EC}=\overset\frown{EA}$
$\to \widehat{EBC}=\widehat{EBA}$
$\to BE$ là tia phân giác $\widehat{CBA}$
$F$ là điểm chính giữa $\overset\frown{BC}$
$\to \overset\frown{FC}=\overset\frown{FB}$
$\to \widehat{FAC}=\widehat{FAB}$
$\to AF$ là tia phân giác $\widehat{CAB}$
Xét $\Delta ACB$, ta có:
$BE$ là tia phân giác $\widehat{CBA}$ ( cmt )
$AF$ là tia phân giác $\widehat{CAB}$ ( cmt )
Mà $BE$ cắt $AF$ tại $I$
Nên $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ACB$
$\to CI$ là tia phân giác $\widehat{ACB}$
c)
$AF$ là tia phân giác $\widehat{CAB}$
$\to \widehat{FAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{CAB}=\dfrac{1}{2}.60{}^\circ =30{}^\circ $
Mặt khác:
$\widehat{CFA}=\widehat{CBA}$ ( cùng chắn $\overset\frown{AC}$ )
Mà $\widehat{CBA}=30{}^\circ $ nên $\widehat{CFA}=30{}^\circ $
$\to \widehat{FAB}=\widehat{CFA}=30{}^\circ $
Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong
Nên $CF\,\,||\,\,AB$
$\to ABFC$ là hình thang
Mà $ABFC$ lại nội tiếp $\left( O \right)$
Nên $ABFC$ là hình thang cân ( một hình thang và nội tiếp được đường tròn thì hình thang đó sẽ trở thành hình thang cân )
