`a)` $M$ thuộc nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$
`=>∆MAB` vuông tại $M$
`=>\hat{PMQ}=90°`
$P$ thuộc nửa đường tròn $(O_1)$ đường kính $AH$
`=>∆APH` vuông tại $P$
`=>\hat{APH}=90°=>\hat{MPH}=90°`
$Q$ thuộc nửa đường tròn $(O_2)$ đường kính $BH$
`=>∆BQH` vuông tại $Q$
`=>\hat{BQH}=90°=>\hat{MQH}=90°`
Xét tứ giác $MQHP$ có:
`\hat{MPH}=\hat{PMQ}=\hat{MQH}=90°`
`=>MQPH` là hình chữ nhật
`=>MH=PQ` (đpcm)
$\\$
`b)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
$∆AMH$ vuông tại $H$ có đường cao $HP$
`=>MH^2=MP.MA` $(1)$
$∆BMH$ vuông tại $H$ có đường cao $HQ$
`=>MH^2=MQ.MB` $(2)$
Từ `(1);(2)=>MP.MA=MQ.MB`
`=>{MP}/{MB}={MQ}/{MA}`
Xét $∆MPQ$ và $∆MBA$ có:
`\hat{M}` chung
`{MP}/{MB}={MQ}/{MA}`
`=>∆MPQ∽MBA(c-g-c)` (đpcm)
$\\$
`c)` Ta có:
`∆MPQ∽∆MBA`(câu b)
`=>\hat{MPQ}=\hat{MBA}`
Mà `\hat{MBA}=\hat{O_1HP}` (đồng vị do $HP$//$BM$)
`∆O_1PH` cân tại $O_1$ (do $O_1P=O_1H$)
`=>\hat{O_1PH}=\hat{O_1HP}`
`=>\hat{MPQ}=\hat{O_1PH}`
Ta có:
`\hat{O_1PQ}=\hat{O_1PH}+\hat{HPQ}`
`=\hat{MPQ}+\hat{HPQ}=\hat{MPH}=90°`
`=>PQ`$\perp O_1P$
`=>PQ` là tiếp tuyến tại $P$ của $(O_1)$
Tương tự c/m được $PQ$ là tiếp tuyến tại $Q$ của $(O_2)$
Vậy $PQ$ là tiếp tuyến chung của $(O_1)$ và $(O_2)$ (đpcm)
