Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB.\) Gọi \(C,D\) là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc \(COD\) luôn bằng \(90^\circ \) (\(C\) nằm giữa \(A\) và \(D\)). Tiếp tuyến tại \(C,D\) cắt đường thẳng \(AB\) lần lượt tại \(F,G.\) Gọi \(E\) là giao điểm

thanhthao91dn

2 năm trước

Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB.\) Gọi \(C,D\) là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc \(COD\) luôn bằng \(90^\circ \) (\(C\) nằm giữa \(A\) và \(D\)). Tiếp tuyến tại \(C,D\) cắt đường thẳng \(AB\) lần lượt tại \(F,G.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(FC\) và \(GD.\)
1) Tính chu vi của tam giác \(ECD\) theo \(R.\)
2) Khi tứ giác \(FCDG\) là hình thang cân. Hãy tính tỉ số \(\frac{{AB}}{{FG}}.\)
3) Chứng minh rằng \(FC.DG\) luôn là hằng số.
4) Tìm vị trí của \(C,D\) sao cho tích \(AD.BC\) đạt giá trị lớn nhất.
A.
B.
C.
D.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 23 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

renvtk

Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) Tính chu vi của tam giác \(ECD\) theo \(R.\)
Từ tính chất của tiếp tuyến ta có \(\widehat {OCG} = \widehat {ODG} = {90^0} = \widehat {COD}\) nên \(CODE\) là chữ nhật.
Lại có \(OC = OD = R\) nên \(CODE\) là hình vuông.
Suy ra \(CE = DE = CO = DO = R\)
Xét tam giác \(ECD\) vuông tại \(E,\) theo định lý Pytago ta có: \(CD = \sqrt {C{E^2} + D{E^2}} = \sqrt {{R^2} + {R^2}} = R\sqrt 2 \)
Chu vi tam giác \(CED\) là \(EC + ED + CD = 2R + R\sqrt 2 .\)
2) Khi tứ giác \(FCDG\) là hình thang cân. Hãy tính tỉ số \(\frac{{AB}}{{FG}}.\)

Khi tứ giác \(PCDG\) là hình thang cân thì \(CF = DG;\widehat F = \widehat G\) và \(CD//FG\)
Ta có tam giác \(EFG\) cân tại \(E\) có \(\widehat {EFG} = {90^0}\) nên \(\widehat F = \widehat G = {45^0}\)
Xét tam giác \(OFC\) vuông tại \(C\) có \(\widehat F = {45^0}\) nên tam giác \(CFO\) vuông cân tại \(C.\)
Suy ra \(CF = CO = R\)
Tương tự ta có \(DG = DO = R\)
Từ đó \(CF = CE = DE = DG = R\) nên \(C,D\) lần lượt là trung điểm của \(EF,EG\)
Suy ra \(CD\) là đường trung bình của tam giác \(EFG.\) Khi đó \(FG = 2CD = 2R\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{FG}} = \frac{{2R}}{{2R\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
3) Chứng minh rằng \(FC.DG\) luôn là hằng số.
Ta có: \(\widehat F = \widehat {DOC}\) (cùng phụ với \(\widehat {COF}\))
Nên hai tam giác vuông \(FCO\) và \(ODG\) đồng dạng (góc-góc)
Ta có : \(\frac{{CF}}{{OD}} = \frac{{CO}}{{DG}} \Leftrightarrow CF.DG = CO.DO = {R^2}\)
4) Tìm vị trí của \(C,D\) sao cho tích \(AD.BC\) đạt giá trị lớn nhất.

Gọi giao điểm của \(CB\) và \(AD\) là \(I.\) Khi đó ta có các tam giác \(ACI,\,BDI\) vuông cân tại \(C,D.\)
Đặt \(AC = x;BD = y \Rightarrow CB.AD = \left( {x + y\sqrt 2 } \right)\left( {y + x\sqrt 2 } \right) = 3xy + \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\sqrt 2 .\)
Ta có \(A{C^2} + C{B^2} + B{D^2} + A{D^2} = 8{R^2}\) (định lý Pytago)
Suy ra \(4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 4xy\sqrt 2 = 8{R^2}\mathop \ge \limits^{Co - si} 8xy + 4xy\sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow xy \le \frac{{8{R^2}}}{{8 + 4\sqrt 2 }}\) .
Dấu “=” khi \(x = y.\)
Ta có \(2\sqrt 2 AD.BC - 8{R^2} = 2xy\sqrt 2 .\)
Vậy để tích \(CB.AD\) lớn nhất thì \(x = y\) khi đó \(C,D\) là điểm chính giữa của các cung phần tư thứ nhất và thứ hai trên nửa đường tròn đã cho.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Điền từ thích hợp vào các thành ngữ sau: (1,0 điểm) Nằm …nếm mật Nợ như chúa… Cưỡi…xem hoa Bách chiến bách…
A.
B.
C.
D.

Cho 2,7 gam một kim loại nhóm IIIA tác dụng hết với HCl thu được 3,36 lít khí H2 ở đktc. Kim loại đó là?
A.
B.
C.
D.

A và B là hai chất hữu cơ đồng phân của nhau (chứa C, H, O) trong đó oxi chiếm 21,621% khối lượng. Biết A, B là các hợp chất đơn chức và phản ứng được với dd NaOH. Khi cho 0,74 gam mỗi chất trên tác dụng hết với dd brom trong dung môi CCl4 thì mỗi chất tạo ra một sản phẩm duy nhất và đều có khối lượng là 1,54gam. Cho 2,22 gam hỗn hợp X gồm A và B tác dụng với dd NaHCO3 dư được 112ml khí đktc. Lấy 4,44 gam hỗn hợp X cho tác dụng với dd NaOH vừa đủ, sau đó cô cạn được 4,58 gam muối khan. Mặt khác, đun nóng hỗn hợp X với dd KMnO4 và H2SO4 cho hỗn hỗn hợp sản phẩm chỉ gồm CO2, MnSO4, K2SO4, H2O và chất D (C7H6O2). Viết công thức cấu tạo các chất A, B và viết các phản ứng của chúng với dd KMnO4 /H2SO4.
A.
B.
C.
D.

Cho 1 lượng kẽm (Zn) dư tác dụng với 100 ml dung dịch axit HCl, phản ứng kết thúc thu được 3,36 lít khí (đktc)
a) Tính khối lượng kẽm đã phản ứng
b) Tính nồng độ mol của dung dịch HCl đã dùng?
A.
B.
C.
D.

Các hình ảnh hoa hồng, những mũi gai mang ý nghĩa gì?
A.
B.
C.
D.

Nhân vật Mị là một thành công của Tô Hoài trong việc xây dựng con người thức tỉnh. Hãy chứng minh nhận định ấy?
A.
B.
C.
D.

Hãy trình bày cách nhận biết các dung dịch sau bằng phương pháp hóa học: NaCl, HCl, H2SO4, NaOH.
A.
B.
C.
D.

A.
B.
C.
D.

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích: \({{x}^{2}}-6x+9=49\)
A.
B.
C.
D.

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (5,0 điểm)
Câu 1. (2,0 điểm)
Nêu những nét chính về cuộc đời và sự nghiệp văn học của nhà văn Hê – minh – uê.
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến