Giải thích các bước giải:
a) Tứ giác $ABCD$ là hình gì?
Ta có: $Ax; By$ là tiếp tuyến với $(O)$ tại $A$ và $B$
$\Rightarrow Ax⊥AB; By⊥AB$
$\Rightarrow Ax//By$
$\Rightarrow AC//BD$
Xét tứ giác $ABDC$ có: $AC//DB$ và $\widehat A=\widehat B=90^o$
$\Rightarrow$ Tứ giác $ABDC$ là hình thang vuông
b) Gọi $I$ là trung điểm của $CD$
Xét $\Delta OCD\bot O$ có: $I$ là trung điểm của $CD$
$\Rightarrow O∈$ đường tròn $ (I)$
Xét hình thang vuông $ABDC$ có: $O$ là trung điểm của $AB$
$I$ là trung điểm của $CD$
$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$
$\Rightarrow OI//AC//BD$
Mà $AC⊥AB\Rightarrow OI⊥AB$
Xét $(I)$ có $OI⊥AB$ tại $O$
$\Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của $(I)$ tại $O$
Vậy đường tròn ngoại tiếp $\Delta OCD$ tiếp xúc với $AB$ tại $ O$
c) Dựng $OH\bot CD$
Ta có $\widehat{AOC}=\widehat{IOD}$ (cùng phụ với $\widehat{COI}$)
mà $\widehat{IOD}=\widehat{IDO}$ $(\Delta IOD$ cân vì có $IO=ID)$
$\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{IDO}$
$\Rightarrow \widehat{ACO}=\widehat{HCO}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau $\widehat{AOC}=\widehat{IDO}$ )
Xét $\Delta$ vuông $CAO$ và $\Delta CHO$ có:
$ \widehat{ACO}=\widehat{HCO}$ (cmt)
$CO$ chung
$\Rightarrow \Delta$ vuông $CAO=\Delta CHO$ (ch-gn)
$\Rightarrow OA=OH\Rightarrow H\in(O)$
$\Rightarrow CD$ là tiếp tuyến đường $(O)$ tiếp điểm là $H$
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $CH=CA$ và $DH=DB$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $COD$ có:
$OH^2=CH.DH$
$\Rightarrow R^2=CA.DB$ (đpcm)
