a)
Xét $\Delta ACO$ nội tiếp $\left( S \right)$ có $OA$ là đường kính
Nên $\Delta ACO$ vuông tại $C$
$\Rightarrow OC\bot AD$ tại $C$
$\Rightarrow C$ là trung điểm của $AD$
b)
Ta có $\Delta OHD$ vuông tại $H$
Nên 3 điểm $O,H,D$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $DH$ $\left( 1 \right)$
Ta có $\Delta OCD$ vuông tại $C$
Nên 3 điểm $O,C,D$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $DH$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow $4 điểm $C,H,O,D$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $DH$
c)
Xét $\Delta ABD$ có $BC,DO$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $E$
Nên $E$ là trọng tâm của $\Delta ABD$
Do đó $\dfrac{OE}{OD}=\dfrac{1}{3}$
Mà $\dfrac{OH}{OB}=\dfrac{1}{3}$ (vì $HB=2HO$)
$\Rightarrow \dfrac{OE}{OD}=\dfrac{OH}{OB}$
Mà $OB=OD=R$ nên $OE=OH$
Xét $\Delta OEB$ và $\Delta OHD$, ta có:
$OE=OH\left( cmt \right)$
$\widehat{BOD}$ chung
$OB=OD=R$
Nên $\Delta OEB=\Delta OHD\left( c.g.c \right)$
Do đó $\widehat{OEB}=\widehat{OHD}=90{}^\circ $
$\Rightarrow BC\bot OD\,\,\,\left( 3 \right)$
Xét $\Delta AOD$ có $C,S$ lần lượt là trung điểm $AD,AO$
Nên $CS$ là đường trung bình của $\Delta AOD$
Do đó $CS//OD\,\,\,\left( 4 \right)$
Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)\Rightarrow BC\bot CS$
Vậy $BC$ là tiếp tuyến của $\left( S \right)$
