a) Ta có:
$AC,AH$ là tiếp tuyến của $(M)$ tại $C,H$
$\Rightarrow AC = AH$
mà $MC = MH = R'$
nên $MA$ là trung trực của $HC$
$\Rightarrow MA$ là phân giác của $\widehat{HMC}$
$\Rightarrow \widehat{HMC}=2\widehat{HMA}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\widehat{HMD}=2\widehat{HMB}$
$\Rightarrow \widehat{HMC}+\widehat{HMD}=2(\widehat{HMA}+\widehat{HMB}) = 2\widehat{AMB}$
mà $\widehat{AMB}=90^o$ (nhìn đường kính $AB)$
nên $\widehat{HMC}+\widehat{HMD}=2.90^o = 180^o$
$\Rightarrow C,M,D$ thẳng hàng
$\Rightarrow CD$ là đường kính của $(M)$
b) Như đã chứng minh ở câu a, ta có:
$AC = AH$
$BD = BH$
$\Rightarrow AC + BD = AH + BH = AB$
Ta có:
$AC.BD = AH.BH = MH^2$ (hệ thức lượng)
mà $MH = R' = \dfrac{CD}{2}$
nên $AC.BD = \left(\dfrac{CD}{2}\right)^2 = \dfrac{CD^2}{4}$
c) Xét tứ giác $ABDC$ có:
$AC//BD \quad (\perp CD)$
$\widehat{C}=\widehat{D}=90^o$
Do đó: $ABDC$ là hình thang vuông tại $C,D$
Ta lại có:
$MC = MD = R'$
$OA = OB = R$
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình
$\Rightarrow OM//AC//BD$
$\Rightarrow OM\perp CD$
$\Rightarrow OM\perp MK$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆OMK$ vuông tại $K$ đường cao $MH$ ta được:
$OH.OK=OM^2 = R^2$
$\Rightarrow OA^2 = OB^2 = OH.OK = R^2$
