Giải thích các bước giải:
a, Ax và CD là 2 tiếp tuyến của (O;R), cắt nhau tại C
By và CD là 2 tiếp tuyến của (O;R), cắt nhau tại D
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
* CA = CM và DB = DM
⇒ AC + BD = CM + DM = CD (đpcm)
* $\widehat{AOC}$ = $\widehat{MOC}$, $\widehat{BOD}$ = $\widehat{MOD}$
mà $\widehat{AOC}$ + $\widehat{MOC}$ + $\widehat{BOD}$ + $\widehat{MOD}$ = $180^{o}$
⇒ $\widehat{MOC}$ + $\widehat{MOD}$ = $\frac{1}{2}$.$180^{o}$ = $90^{o}$
⇒ $\widehat{COD}$ = $90^{o}$
⇒ ΔCOD vuông tại O (đpcm)
b, CA = CM và DB = DM
⇒ AC.BD = CM.DM
ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao, áp dụng hệ thức lượng ta có:
⇒ CM.DM = $OM^{2}$ = $R^{2}$
⇒ AC.BD = $R^{2}$ (đpcm)
c, AM = R, AB = 2R
ΔAMB vuông tại M (do nội tiếp đường tròn đường kính AB)
⇒ BM = $\sqrt[]{AB^{2}-AM^{2}}$ = $\sqrt[]{(2R)^{2}-R^{2}}$ = R$\sqrt[]{3}$
Gọi E = OD ∩ BM
Vì DB= DM và OB = OM ⇒ OD là trung trực của BM
⇒ OD ⊥ BM tại E là trung điểm của BM ⇒ BE = EM = $\frac{BM}{2}$ = $\frac{R\sqrt[]{3}}{2}$
ΔOBE vuông tại E ⇒ OE = $\sqrt[]{OB^{2}-BE^{2}}$ = $\sqrt[]{R^{2}-(\frac{R\sqrt[]{3}}{2})^{2}}$ = $\frac{R}{2}$
ΔOBD vuông tại B có BE là đường cao
⇒ $BE^{2}$ = OE.ED ⇔ $(\frac{R\sqrt[]{3}}{2})^{2}$ = $\frac{R}{2}$.ED
⇒ ED = $\frac{3R}{2}$
⇒ $S_{BDM}$ = $\frac{1}{2}$.ED.BM = $\frac{1}{2}$.$\frac{3R}{2}$.R$\sqrt[]{3}$ = $\frac{3\sqrt[]{3}}{4}$$R^{2}$ (đvdt)
d, AC ║ BD (cùng ⊥ AB) ⇒ $\frac{AN}{ND}$ = $\frac{CN}{NB}$ = $\frac{AC}{BD}$
mà AC = CM, BD = DM
⇒ $\frac{CN}{NB}$ = $\frac{CM}{DM}$
⇒ MN ║ BD ⇒ MN ║ AC (đpcm)
e, Gọi I là trung điểm của CD
Tứ giác ACDB có AC ║ DB nên là hình thang
Hình thang ACDB có O là trung điểm của AB, I là trung điểm của CD
⇒ OI là đường trung bình ⇒ OI ║ AC ║ BD ⇒ OI ⊥ AB
AB tiếp xúc với đường tròn tâm I đường kính CD tại O và AB ⊥ OI
⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD (đpcm)
