1, Xét (O) có:
Ax, CD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D
A, E là hai tiếp điểm
⇒ AD = DE, DO là phân giác $\widehat{ADE}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét ΔADE có: AD = DE (cmt)
⇒ ΔADE cân tại D
Mà DO là phân giác $\widehat{ADE}$ (cmt)
⇒ DO là trung trực của AE
⇒ DO ⊥ AE
Xét (O), đường kính AB có: E ∈ (O) ⇒ $\widehat{AEB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AE ⊥ EB
Mà AE ⊥ OD (cmt)
⇒ OD // BE (từ vuông góc đến song song)
2, Xét (O) có: $\widehat{DEK}=\widehat{KBE}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn $\overparen{KE}$)
Hay $\widehat{DEK}=\widehat{DBE}$
Xét ΔDEK và ΔDBE có:
$\widehat{DEK}=\widehat{DBE}$ (cmt)
$\widehat{BDE}$: góc chung
⇒ ΔDEK ~ ΔDBE (g.g)
⇒ $\frac{DE}{DB}=\frac{DK}{DE}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ DE² = DK.DB
Xét (O) có: CD là tiếp tuyến, E là tiếp điểm
⇒ OE ⊥ CD ⇒ $\widehat{OED}=90°$
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔDEO vuông tại E ($\widehat{OED}=90°$), EH ⊥ OD (DO ⊥ AE) có:
DE² = DH.DO
Mà DE² = DK.DB (cmt)
⇒ DH.DO = DK.DB
⇒ $\frac{DH}{DB}=\frac{DK}{DO}$
Xét ΔDHK và ΔDBO có:
$\frac{DH}{DB}=\frac{DK}{DO}$ (cmt)
$\widehat{ODB}$: góc chung
⇒ ΔDHK ~ ΔDBO (c.g.c)
⇒ $\widehat{DHK}=\widehat{DBO}$ (hai góc tương ứng) Hay $\widehat{DHK}=\widehat{KBO}$
Có: $\widehat{DHK}+\widehat{KHO}=180°$ (hai góc kề bù)
⇒ $\widehat{KBO}+\widehat{KHO}=180°$
Xét tứ giác KHOB có: $\widehat{KBO}+\widehat{KHO}=180°$ (cmt)
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác KHOB nội tiếp đường tròn
c, Xét (O) có: Ax là tiếp tuyến, A là tiếp điểm ⇒ OA ⊥ Ax ⇒ $\widehat{DAO}=90°$
ON ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{NOB}=90°$
OD // NB (cmt) ⇒ $\widehat{DOA}=\widehat{NBO}$ (2 góc đồng vị)
Xét ΔDAO vuông tại A ($\widehat{DAO}=90°$) và ΔNOB vuông tại O ($\widehat{NOB}=90°$) có:
OA = OB = R
$\widehat{DOA}=\widehat{NBO}$ (cmt)
⇒ ΔDAO = ΔNOB (cạnh góc vuông - góc nhọn)
⇒ DA = NO (các cạnh tương ứng)
DA ⊥ AO (cmt)
NO ⊥ AB (gt)
⇒ DA // NO
Xét tứ giác DAON có:
DA // NO (cmt)
DA = NO (cmt)
⇒ DAON là hình bình hành
Mà $\widehat{DAO}=90°$ (cmt)
⇒ DAON là hình chữ nhật
⇒ I là trung điểm của DO, $\widehat{DNO}=90°$
⇒ ON ⊥ JD
OE ⊥ DC (cmt) ⇒ DE ⊥ OJ
Xét ΔODJ có:
ON ⊥ JD (cmt)
DE ⊥ OJ (cmt)
ON cắt DE tại M
⇒ M là trực tâm của ΔODJ
⇒ JM ⊥ OD
DA // ON (cmt) ⇒ $\widehat{ADO}=\widehat{DON}$ (hai góc so le trong)
DAON là hình chữ nhật (cmt)
⇒ DO là phân giác $\widehat{ADE}$
⇒ $\widehat{ADO}=\widehat{ODE}$
Mà $\widehat{ADO}=\widehat{DON}$ (cmt)
⇒ $\widehat{ODE}=\widehat{DON}$ Hay $\widehat{ODM}=\widehat{DOM}$
Xét ΔDOM có: $\widehat{ODM}=\widehat{DOM}$ (cmt)
⇒ ΔDOM cân tại M
Mà I là trung điểm của DO (cmt)
⇒ MI ⊥ DO
Mà JM ⊥ DO (cmt)
⇒ Ba điểm M, I, J thẳng hàng
