Ta có:
$\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow ΔABC$ vuông tại $C$
Ta cũng có:
$MA,\, MC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\, C\quad (gt)$
$\Rightarrow MA = MC$
mà $OA = OC = R$
nên $OM$ là trung trực của $AC$
$\Rightarrow OM\perp AC$
Gọi $D$ là trung điểm $AC$
$\Rightarrow OD\perp AC$
$\Rightarrow \widehat{AOD} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$)
$\Rightarrow \sin^2\widehat{AOD} = \sin^2\widehat{ACH}$
$\Rightarrow \dfrac{AM^2}{OM^2} = \dfrac{AH^2}{AC^2}$
$\Rightarrow \dfrac{MD.OM}{OM^2} = \dfrac{AH^2}{AH.AB}$
$\Rightarrow \dfrac{MD}{OM} = \dfrac{AH}{AB}\qquad (1)$
Mặt khác:
$CH//AM\quad (\perp AB)$
$\Rightarrow IH//AM$
$\Rightarrow \dfrac{MI}{MB} = \dfrac{AH}{AB}\qquad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow \dfrac{MI}{MB} = \dfrac{MD}{MO}$
$\Rightarrow ID//OB$ (định lý $Thales$ đảo)
$\Rightarrow ID//AH$
Xét $ΔAHC$ có:
$AD = DC\quad $(cách dựng)
$ID//AH\quad (cmt)$
$\Rightarrow CI = IH$
hay $I$ là trung điểm $CH$
