a)
$\Delta AMB$ nội tiếp $\left( O \right)$ đường kính $AB$
$\to \widehat{AMB}=90{}^\circ $
$\to \Delta AMB$ vuông tại $M$
Có $MA=MB$ ( Vì $M$ là điểm chính giữa $\overset\frown{AB}$ )
Nên $\Delta AMB$ vuông cân tại $M$
$\to \widehat{MAB}=\widehat{MBA}=45{}^\circ $
Xét tứ giác $KHMB$ có:
$\widehat{HKB}=90{}^\circ $
$\widehat{HMB}=90{}^\circ $
$\to \widehat{HKB}+\widehat{HMB}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $
$\to KHMB$ là tứ giác nội tiếp
b)
Vì $KHMB$ là tứ giác nội tiếp:
$\to \widehat{HBK}=\widehat{HMK}$ ( cùng chắn $\overset\frown{HK}$ )
Mà $\widehat{HBK}=\widehat{HMN}$ ( cùng chắn $\overset\frown{NA}$ trong tứ giác $ANMB$ nội tiếp $\left( O \right)$ )
Nên $\widehat{HMK}=\widehat{HMN}$
$\to MH$ là tia phân giác $\widehat{NMK}$
$\to MA$ là tia phân giác $\widehat{NMK}$
c)
$\widehat{MNB}=\widehat{MAB}$ ( cùng chắn $\overset\frown{MB}$ trong tứ giác $ANMB$ nội tiếp $\left( O \right)$ )
Mà $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=45{}^\circ $ ( cmt )
Nên $\widehat{MNB}=\widehat{MBA}=45{}^\circ $
Xét $\Delta MBN$ và $\Delta MIB$, ta có:
$\widehat{IMB}$ là góc chung
$\widehat{MNB}=\widehat{MBA}=45{}^\circ $ ( cmt )
Nên $\Delta MBN\sim \Delta MIB$
$\to \dfrac{MB}{MI}=\dfrac{MN}{MB}$
$\to MN.MI=M{{B}^{2}}$
