a) Ta có $\widehat{ACE}=\widehat{ACB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow$ Tứ giác $AICE$ có: $\widehat{ACE}+\widehat{AIE}=180^o$
$\Rightarrow AICE$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AE)$.
b) Xét $\Delta IAF$ và $\Delta IEB$ có:
$\widehat{FIA}=\widehat{BIE}=90^o$
$\widehat{IFA}=\widehat{IBE}$ (cùng phụ $\widehat{CAB}$)
$\Delta IAF\sim\Delta IEB$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{IA}{IE}=\dfrac{IF}{IB}$
$\Rightarrow IA.IB=IE.IF$.
c) $\Delta AFB$ có $BC,FI$ là hai đường cao $E\in CB\cap FI\Rightarrow E$ là trực tâm $\Delta AFB$
$\Rightarrow AE\bot FB$ (1)
$\Delta CEF\bot C\Rightarrow \Delta CEF$ nội tiếp đường tròn đường kính (EF)
$N$ là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF và AE, nên N thuộc đường tròn (EF)
$\Rightarrow C,E,N,F$ cùng thuộc đường tròn
$\Rightarrow\widehat{ENF}=90^o$ (góc nội tiếp chắn đường kính EF)
$\Rightarrow EN\bot FN$
$N$ là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF và AE nên N thuộc AE nên A, E, N thẳng hàng
hay $\Rightarrow AE\bot FN$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $FN//FB\Rightarrow F,N,B$ thẳng hàng
$\Rightarrow \widehat{ANB}=90^o\Rightarrow N\in(AB)$ hay $N\in(O,R)$
d) Gọi giao điểm của đường tròn tâm K và AB là M
Khi đó M thuộc đường tròn tâm K nên MEFA là tứ giác nội tiếp (K)
$\Rightarrow\widehat{AFE}={EMI}$ (cùng bù $\widehat{AME}$)
$\widehat{FIA}=\widehat{MIE}$
$\Rightarrow\Delta FIA \sim\Delta MIE(gg)$
$\Rightarrow\dfrac{IF}{IM}=\dfrac{IA}{IE}$
$\Rightarrow IA.IM=IF.IE=IA.IB$ (câu b)
$\Rightarrow IM=IB\Rightarrow M$ cố định $\Rightarrow AM$ cố định
$KA=KM$ (cùng là bán kính $(K)$)
$\Rightarrow K$ luôn nằm trên đường trung trực của AM.
