a) $\Delta OMA$ có $MH\bot OA$ $MH$ là đường cao
$H$ là trung điểm của $OA$ $\Rightarrow MH$ là đường trung tuyến
$\Rightarrow \Delta OMA$ cân đỉnh $M$.
$\Rightarrow MO=MA$ mà $OM=OA\Rightarrow OM=OA=AM$
$\Rightarrow \Delta OMA$ đều
Ta có: $OM=ON=R$
$\Rightarrow \Delta AMN$ cân đỉnh $O$ có $MN\bot OA=H\Rightarrow OH\bot MN$
$\Rightarrow OH$ là đường cao $\rightarrow OH$ cũng là phân giác của $\widehat{MON}$ (1)
Xét $\Delta$ vuông $MOB$ và $\Delta $ vuông $NOB$ ta có:
$OB$ chung
$OM=ON=R$
$\Delta MOB=\Delta NOB$ (ch.cgv)
$\Rightarrow\widehat{MOB}=\widehat{NOB}$
$\Rightarrow OB$ là phân giác $\widehat{MON}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow OA, OB$ cùng là phân giác $\widehat{MON}$
$\Rightarrow O,A,B$ thẳng hàng.
b) $OA\bot MN$ và $OH\cap MN=H$ là trung điểm $MN$
$\Rightarrow \Delta BMN$ có
$BH\bot MN$ $BH$ là đường cao và $BH$ là đường trung tuyến $\Delta BMN$ cân đỉnh $B$.
$\widehat{MBO}=90^o-\widehat{MOA}=90^o-60^o=30^o$
$\Rightarrow \widehat{MBN}=2\widehat{MBO}=2.30^o=60^o$
$\Rightarrow \Delta MBN$ là tam giác đều.
c) $MB=MN=2MH$
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $MOH$ ta có:
$MH^2=AM^2-OH^2=R^2-(\dfrac{R}{2})^2$
$\Rightarrow MH=\dfrac{R\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow MB=MN=2MH=R\sqrt3$
