a) Xét tứ giác $ABDC$ có $AC\parallel DB$ (vì cùng $\bot AB$)
$\Rightarrow ABDC$ là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)
Có thêm $\widehat{CAB}=\widehat{ABD}=90^o$
$\Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông
b) $\Delta AEB$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AB)$
$\Rightarrow \widehat{AMB}=90^o$
$\Rightarrow BE\bot AE$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABD$ đường cao $BE$ có:
$BD=DE.DA$ (1)
Do $DM$ và $DB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(O)$
$\Rightarrow DM=DB$ (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$\Rightarrow \Delta DMB$ cân đỉnh $D$
có thêm $DO$ là đường phân giác của $\widehat{MDB}$
$\Rightarrow DO$ là đường cao $\Rightarrow DO\bot MB$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $BCD$ đường cao $BN$ có:
$BD^2=DN.DC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $DE.DA=DN.DC$ (đpcm)
c) Xét $\Delta AOF$ và $\Delta OBD$ có:
$\widehat{AOF}=\widehat{OBD}=90^o$
$AO=OB$
$\widehat{A_1}=\widehat{O_1}$ (do cùng phụ $\widehat{ABM}$)
$\Rightarrow \Delta AOF=\Delta OBD$ (cạnh góc vuông-góc nhọn)
$\Rightarrow OF=BD$ (hai cạnh tương ứng)
Lại có $OF\parallel BD$ (vì cùng $\bot AB$)
$\Rightarrow OFDB$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Lại có thêm $\widehat{FOB}=90^o$
$\Rightarrow OFDB$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
d) Ta có: $AM=OM=OA=R$ nên $\Delta OAM$ là tam giác đều
$\Rightarrow \widehat{DBM}=\widehat{A_1}=60^o$ (cùng phụ $\widehat{ABM}$) và có $DM=DB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$\Rightarrow \Delta MDB$ đều $\Rightarrow DB=MB$
$\Delta $ vuông $ABM$: $MB=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{(2R)^2-R^2}=R\sqrt3$
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau $CA=CM\Rightarrow \Delta ACM$ cân đỉnh $M$
$CO$ là tia phân giác của $\widehat {ACM}\Rightarrow CO$ là đường cao $\Rightarrow CO\bot AM$
Gọi $CO\cap AM=K$, $K$ là trung điểm của $AM$
$\widehat{CAK}=30^o$ (do phụ với $\widehat {A_1}=60^o$)
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $AKC$ có:
$\cos\widehat{CAK}=\dfrac{AK}{AC}$
$\Rightarrow AC=\dfrac{AK}{\cos\widehat{CAK}}=\dfrac{\dfrac{R}{2}}{\cos30^o}=\dfrac{R}{\sqrt3}$
$\Rightarrow S_{ABDC}=\dfrac{(AC+BD).AB}{2}=\dfrac{(\dfrac{R}{\sqrt3}+R\sqrt3)2R}{2}=\dfrac{4R^2}{\sqrt3}$
