a)
$OA$ là đường trung trực $CD$
$CD$ là đường trung trực $OA$
$\Rightarrow OCAD$ là hình thoi
b)
$\Delta FCO=\Delta FDO\left( c.g.c \right)$
$\Rightarrow \widehat{FCO}=\widehat{FDO}=90{}^\circ $
$\Rightarrow FD$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$
c)
Có $OA=OC=AC$
$\Rightarrow \Delta OAC$ đều
$\Rightarrow \widehat{AOC}=60{}^\circ $
$\Rightarrow \widehat{FCD}=60{}^\circ $
Mà $\Delta FCD$ lại cân tại $F$
$\Rightarrow \Delta FCD$ là tam giác đều
$\Delta FCO$ vuông tại $C$
$\Rightarrow \tan \widehat{FOC}=\dfrac{FC}{OC}$
$\Rightarrow FC=\tan \widehat{FOC}.OC=\tan 60{}^\circ .R=R\sqrt{3}$
Vậy $\Delta FCD$ là tam giác đều với cạnh bằng $R\sqrt{3}$
d)
Có $\begin{cases}\widehat{CPI}+\widehat{CIP}=120{}^\circ\\\widehat{DIQ}+\widehat{CIP}=120{}^\circ\end{cases}$
$\Rightarrow\widehat{CPI}=\widehat{DIQ}$
Lại có $\widehat{PCI}=\widehat{IDQ}=60{}^\circ$
$\Rightarrow \Delta CPI\sim\Delta DIQ$
$\Rightarrow PC.QD=IC.ID$
$\Rightarrow PC.QD\le \dfrac{{{\left( IC+ID \right)}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow PC.QD\le \dfrac{C{{D}^{2}}}{4}$
Dấu “=” xảy ra khi $I\equiv M$
