a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến của (O) nên AB=AC ⇒ ΔABC cân tại A.
Ta có AO là đường phân giác của góc ∠BAC của tam giác cân ABC nên AO cũng là đường cao.Suy ra OA ⊥ BC (tính chất của tam giác cân).
b) Gọi I là giao điểm của AO với BC
Ta có: ΔIBA = ΔICA (Cạnh huyền góc nhọn)
⇒IB = IC
Trong ΔBCD ta có:
IB = ID
OC = OD
⇒ OI là đường trung bình của Δ BCD
Nên OI//BD hay AO//BD
Vậy AO//BD(đpcm)
c) Vì AB là tiếp tuyển của (O) với B là tiếp điểm nên AB ⊥ OB và AB = AC
Vậy ΔOAB vuông tại B.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAB, ta có:
AO2 = AB2 + BO2
⇒ AB2 = AO2 – BO2 = 42 -22 = 12
⇒ AB = √12 = 2√3 (cm)
Trong tam giác vuông OAB ta có
sinOAB = OB/OA =2/4 = 1/2
⇒ ∠OAB = 300 ⇒∠BAC = 2∠OAB =2.300 = 600
Tam giác ABC cân tại A và có ∠A = 600 nên ΔABC là tam giác đều. Suy ra AB= BC = CA = 2√3 (cm)
