Giải thích các bước giải:
\(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {4;2;3} \right);C\left( {4;3; - 5} \right)\)
Ta có:
a,
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} \left( {3;0;0} \right)\\
\overrightarrow {AC} \left( {3;1; - 8} \right)\\
\overrightarrow {CB} \left( {0; - 1;8} \right)\\
\overrightarrow {CA} \left( { - 3; - 1;8} \right)\\
\overrightarrow {BC} \left( {0;1; - 8} \right)
\end{array}\)
b,
\(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {0^2}} = 3\\
BC = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} = \sqrt {65} \\
CA = \sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} = \sqrt {74}
\end{array}\)
c,
\(A{B^2} + B{C^2} = {3^2} + {\left( {\sqrt {65} } \right)^2} = 74 = A{C^2}\)
Suy ra tam giác ABC vuông tại B
Do đó diện tích tam giác ABC là:
\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{3\sqrt {65} }}{2}\]
d,
Gọi M, N, P là trung điểm của AB,BC,CA. Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{5}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 2\\
{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 3
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{5}{2};2;3} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_N} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 4\\
{y_N} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{5}{2}\\
{z_N} = \frac{{{z_B} + {z_C}}}{2} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {4;\frac{5}{2}; - 1} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x_P} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{5}{2}\\
{y_P} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{5}{2}\\
{z_P} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}; - 1} \right)
\end{array}\)
e,
G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 3\\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{7}{3}\\
{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{1}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {3;\frac{7}{3};\frac{1}{3}} \right)\)
