Đáp án:
`a, a ∈ { -1 ; -3 ; 1 ; -5 }`
`b,` Max `P = 4 ⇔ a = -1`
Min `P = 2 ⇔ a = -3`
`c, a` $\neq$ `3k - 2` `(k ∈ Z)`
Giải thích các bước giải:
Ta có: `P = (a + 5)/(a + 2) = (a + 2 + 3)/(a + 2) = 1 + 3/(a + 2)`
`a,` Để `P ∈ Z` thì: `3/(a + 2) ∈ Z`
`⇒` `3` $\vdots$ `a + 2` `(a ∈ Z)`
`⇒ a + 2 ∈ Ư (3) = { ±1 ; ±3 }`
`⇒ a ∈ { -1 ; -3 ; 1 ; -5 }`
Vậy `a ∈ { -1 ; -3 ; 1 ; -5 }`
`b,` +) Để `P` đạt GTLN thì: `3/(a + 2)` đạt GTLN
`⇒ a + 2` là số nguyên dương nhỏ nhất ứng với `a ∈ Z`
`⇒ a + 2 = 1`
`⇒ a = -1`
Khi đó, `P = (-1 + 5)/(-1 + 2) = 4`
Vậy Max`P = 4 ⇔ a = -1`
+) Để `P` đạt GTNN thì: `3/(a + 2)` đạt GTNN
`⇒ a + 2` là số nguyên âm lớn nhất ứng với `a ∈ Z`
`⇒ a + 2 = -1`
`⇒ a = -3`
Khi đó, `P = (-3 + 5)/(-3 + 2) = 2`
Vậy Min`P = 2 ⇔ a = -3`
`c,` Để `P` là phân số tối giản thì: `3/(a + 2)` là phân số tối giản
Vì `Ư (3) = { ±1 ; ±3 }`
`⇒` để `3/(a + 2)` tối giản thì `(a + 2 ; 3) = 1`
`⇒ a + 2` $\not\vdots$ `3`
`⇒ a + 2` $\neq$ `3k` `(k ∈ Z)`
`⇒ a` $\neq$ `3k - 2` `(k ∈ Z)`
Vậy `P` tối giản `⇔ a` $\neq$ `3k - 2` `(k ∈ Z)`
