Đáp án:
Bạn tham khảo nhé!
Giải thích các bước giải:
Ta có: \(AH\parallel BP\) (cùng vuông góc với BC)
\( \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{BP}} = \dfrac{{CI}}{{CP}}\) và \(\dfrac{{AI}}{{BP}} = \dfrac{{KI}}{{KP}}\) (định lí Ta-lét) (*)
Ta có: \(PA = PB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \Delta PAB\) cân tại P \( \Rightarrow \widehat {PAB} = \widehat {PBA}\) (2 góc ở đáy).
Mà \(\widehat {PBA} = \widehat {ACB}\) (góc nội tiếp và góc tạp bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB).
\( \Rightarrow \widehat {PAB} = \widehat {ACB}\) (1).
Tam giác AHC vuông tại H \( \Rightarrow \widehat {ACB} + \widehat {HAC} = {90^0}\).
Mà \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\( \Rightarrow \widehat {HAB} = \widehat {ACB}\) (2).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {PAB} = \widehat {HAB} \Rightarrow AB\) là phân giác của góc \(\widehat {HAP}\) hay \(AK\) là là phân giác của góc \(\widehat {HAP}\).
Có \(\widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow AK \bot AC \Rightarrow AC\) là phân giác ngoài của góc \(\widehat {HAP}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{{KI}}{{KP}} = \dfrac{{CI}}{{CP}} = \dfrac{{AI}}{{AP}}\) (**)
Từ (*) và (**) \( \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{BP}} = \dfrac{{AI}}{{BP}} \Rightarrow IH = AI\).
Vậy I là trung điểm của AH (đpcm) .
