Đáp án:
$m \in \left\{ -\dfrac{13}{2}, \dfrac{11}{2} \right\}$.
Giải thích các bước giải:
Xét ptrinh hoành độ giao điểm
$x^2 - 2mx + m^2 + m = x$
$\Leftrightarrow x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0$
Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại 2 điểm thì ptrinh trên phải có 2 nghiệm phân biệt, suy ra
$\Delta > 0$
$\Leftrightarrow (2m+1)^2 - 4(m^2 + m) > 0$
$\Leftrightarrow 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m > 0$
$\Leftrightarrow 1 > 0$ đúng với mọi $m$
Vậy ptrinh trên luôn có 2 nghiệm. Khi đó, hai nghiệm là
$x_1 = \dfrac{2m+1 - 1}{2} = m, x_2 = \dfrac{2m + 1 + 1}{2} = m+1$
Khi đó, tọa độ hai giao điểm là $A(m, m)$ và $B(m + 1, m+1)$. Tương ứng như thế thì $D(m, 0)$ và $C(m+1, 0)$.
Vậy $AD = |m|, BC = |m+1|, CD = 1$.
Ta thấy tứ giác $ABCD$ là hình thang vuông tại $C$ và $D$ nên diện tích tứ giác $ABCD$ là
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC).CD}{2} = \dfrac{(|m| + |m+1|).1}{2} = 6$
Suy ra
$|m| + |m + 1| = 12$
TH1: $m < -1$
Khi đó ptrinh trở thành
$-m + (-m-1) = 12$
$\Leftrightarrow m = -\dfrac{13}{2}$ (TM)
TH2: $1 \leq m < 0$
Khi đó ptrinh trở thành
$-m + m + 1 = 12$
$\Leftrightarrow 1 = 12$ (vô lý)
TH3: $m \geq 0$
Khi đó ptrinh trở thành
$m + m + 1 = 12$
$\Leftrightarrow m = \dfrac{11}{2}$.
Vậy $m \in \left\{ -\dfrac{13}{2}, \dfrac{11}{2} \right\}$.
