Đáp án:
`a)` `k\in {-1;1}`
`b)` `S_{∆ABO}=1/ 2 \sqrt{k^2+4}` (đvdt)
Giải thích các bước giải:
`a)` Vì $(d)$ có hệ số góc `k` và đi qua `M(0;1)`
`=>`$\begin{cases}y=kx+m\ (k\ne 0)\\1=k.0+m\end{cases}$
`=>`$\begin{cases}y=kx+1\ (k\ne 0)\\m=1\end{cases}$
`=>(d)y=kx+1`
Phương trình hoành độ giao điểm của `(P):y=x^2` và `(d)y=kx+1` là:
`\qquad x^2=kx+1`
`<=>x^2-kx-1=0`
`∆=b^2-4ac=(-k)^2-4.1.(-1)`
`=k^2+4\ge 4>0` với mọi $k$
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $k$
`=>(d)` luôn cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$
`=>y_1=x_1^2; y_2=x_2^2`
Theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=k\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-1\end{cases}$
Ta có:
`AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2` (dựa vào định lý Pytago)
`=x_2^2-2x_1x_2+x_1^2+y_2^2-2y_1y_2+y_1^2`
`=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+x_2^4+x_1^4-2.x_1^2x_2^2`
`=k^2-4.(-1)+(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2-2x_1^2x_2^2`
`=k^2+4+[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2-4.(-1)^2`
`=k^2+4+[k^2-2.(-1)]^2-4`
`=k^2+4+k^4+4k^2+4-4`
`=k^4+5k^2+4`
Để `AB=\sqrt{10}`
`=>AB^2=10`
`<=>k^4+5k^2+4=10`
`<=>k^4+5k^2-6=0`
`<=>(k^2-1)(k^2+6)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}k^2=1\\k^2=-6\ (loại)\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}k=1\\k=-1\end{array}\right.$
Vậy `k\in{-1;1}` thì `AB=\sqrt{10}`
$\\$
`b)` $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$
Ta có:
`OA^2=x_1^2+y_1^2=x_1^2+(x_1^2)^2=x_1^4+x_1^2`
`OB^2=x_2^2+y_2^2=x_2^2+(x_2^2)^2=x_2^4+x_2^2`
`=>OA^2+OB^2`
`=x_1^4+x_2^4+x_1^2+x_2^2`
`=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2+(x_1^2+x_2^2)`
`=[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2-2x_1^2x_2^2+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`
`=[k^2-2.(-1)]^2-2.(-1)^2+k^2-2.(-1)`
`=k^4+4k^2+4-2+k^2+2`
`=k^4+5k^2+4=AB^2`
`=>OA^2+OB^2=AB^2`
`=>∆OAB` vuông tại $O$ (định lý Pytago đảo)
Diện tích $∆ABO$ là:
`\qquad S_{∆ABO}=1/ 2 OA.OB`
`=1/ 2 \sqrt{OA^2.OB^2}`
`=1/ 2\sqrt{(x_1^4+x_1^2).(x_2^4+x_2^2)}`
`=1/ 2 \sqrt{(x_1x_2)^4+x_1^2x_2^2.(x_1^2+x_2^2)+(x_1x_2)^2}`
`=1/ 2 \sqrt{(-1)^4+(-1)^2.[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+(-1)^2}`
`=1/ 2 .\sqrt{1+k^2-2.(-1)+1}`
`=1/ 2 \sqrt{1+k^2+3}`
`=1/ 2 \sqrt{k^2+4}`
Vậy `S_{∆ABO}=1/ 2 \sqrt{k^2+4}` (đvdt)
